Шапка

6.2 Виды фильтров

==391

В Части _1 шло обсуждение фильтров, собранных из резисторов и конденсаторов. Такие RC секции имеют плавные характеристики изменения усиления, а спад усиления в достаточном удалении от точки «-3dB» составляет 6 dB/octave . Каскадируя ФВЧ и ФНЧ можно получить полосовой фильтр, имеющий, опять же, плавные скаты «юбки». Такие фильтры вполне подходят для многих задач, особенно если частота вырезаемого сигнала далеко отстоит от интересующей рабочей полосы. Примером могут служить радиочастотные фильтры в звуковой аппаратуре, «блокировочные» конденсаторы, убирающие постоянную составляющую или вырезающие модулирующую частоту из канальных данных.

6.2.1 АЧХ RC фильтров

Но в жизни бывают ситуации, когда требуется фильтр с более плоской характеристикой в полосе пропускания и более резким переходом к полосе заграждения. Это случается, когда полезный сигнал имеет близкую к помехе частоту. Возникает очевидный вопрос, можно ли, каскадируя несколько одинаковых секций, приблизить переходную характеристику в частотной области к идеальной «кирпичной стенке» [* т.е., к вертикальному переходу к полосе заграждения] , как на рис. 6.1 .

Рис. 6.1 Частотная характеристика идеального фильтра

Простое каскадирование здесь не работает, потому что входной импеданс каждой последующей секции серьёзно нагружает предыдущую, ухудшая её характеристики. Возможно, делу могла бы помочь постановка промежуточных буферов между секциями ( или реорганизация таким образом, чтобы каждый последующий каскад имел бы гораздо больший импеданс, чем предшествующий ). Но в любом случае на RC фильтрах решить задачу не получится. Их каскадирование будет увеличивать крутизну спуска , но излом на АЧХ при переходе от пропускания к заграждению ( «колено» ) острее не станет. Другими словами, из многих плавных изломов не получится сделать один резкий. Чтобы увеличить наглядность этого утверждения, были построены графики усиления ( \( V_{out}/V_{in}\) ) от частоты ( рис. 6.2 ) для ФНЧ, собранных из 1, 2, 4, 8, 16 и 32 идентичных RC секций, снабжённых промежуточными буферами.

Рис. 6.2 АЧХ многосекционного RC фильтра. Графики A и B даются в линейных координатах, а C - в логарифмических. АЧХ фильтров на графиках B и C нормализована ( масштабирована ) так, чтобы точка «-3dB» находилась на единичной частоте

==392

На первом рисунке показан эффект каскадирования секций, частота \( f_{3dB} \) которых равна единице. Видно как по мере удлинения цепочки её общая частота \( f_{3dB} \) снижается, что легко предсказать и посчитать _1 . Для корректного сравнения характеристик необходимо подстраивать частоту каждой отдельной секции, чтобы их общая точка \( f_{3dB} \) не изменяла своего положения. С этой целью все остальные графики на рис. 6.2 «нормированы» по частоте так, чтобы точка «-3dB» ( или «частота среза», в зависимости от того, которая из них определена ) для всех фильтров попадала на отметку 1 ( пусть это будет 1 Hz ). Чтобы понять, как будут выглядеть графики для реальных фильтров, полученную АЧХ надо просто умножить на реальную частоту среза \( f_c\) ( или \( f_{3dB} \) ) . Кроме того, при разборе фильтров удобнее работать в лог-лог координатах, потому что так удобнее наблюдать частотный отклик. Логарифмический масштаб позволяет чётче видеть общую картину - частоту среза и величину подавления. В данном случае ( каскадированные RC секции ) нормализованные графики на рис. 6.2B,C показывают плавный перегиб характеристики.

Интересно взглянуть на фазовый сдвиг каскадированного фильтра, нормализованный опять же так, чтобы точка «-3dB» попадала на единичную частоту. Этот график приведён на рис. 6.3 . Запаздывание фазы асимптотически приближается к ( 90°×n ) для каскада длиной n , как это можно предполагать, если вспомнить плавный переход от до 90° у одной RC секции ( рис. 1.104 ). Уже не столь очевидно, что сдвиг фазы в точке «-3dB» растёт одновременно с увеличением числа каскадов. Фазовая характеристика очень важна, потому что она определяет внутриполосные искажения, вносимые фильтром.

Рис. 6.3 Фазочастотные характеристики многосекционных RC фильтров, соответствующие графикам на рис. 6.2C

6.2.1.A Ухудшение общего подавления: неидеальные конденсаторы

В отличие от идеальных, реальные конденсаторы имеют несколько дополнительных «паразитных» параметров. Наиболее заметные из них - эквивалентное последовательное сопротивление ESR и эквивалентная последовательная индуктивность ESL . На очень больших частотах, где ESR становится сравнимо с реактивным сопротивлением 1/( \(ωC\) ) , реальный RC фильтр перестаёт ослаблять сигнал. Данный эффект был промоделирован в SPICE ( см. Приложение _J ) для многосекционных RC фильтров. Результат можно видеть на рис. 6.4 . Моделирование велось исходя из предположения, что надо очистить линию постоянного напряжения, питающую слаботочную схему, от высокочастотного переключательного шума, сторонних сигналов и т.п. Исходя из задачи, общий «бюджет» последовательного сопротивления составляет 100 Ω , что приемлемо для нагрузки в несколько миллиампер. Кроме того, общая ёмкость ограничена величиной 20 μF , чтобы удержать габариты узла в разумных пределах. Симуляция была проведена для трёх многокаскадных фильтров: одиночной секции 100 Ω+20 μF , двух идентичных секций 50 Ω+10 μF и четырёх секций по 25 Ω+5 μF каждая. Сначала были построены АЧХ фильтров с идеальными конденсаторами ( с ESR=0 ), а затем проведены расчёты с использованием реальных цифр ESR , взятых из справочных данных ( например, для конденсатора 5 μF×100 V это 1 Ω ).

Рис. 6.4 Реальные конденсаторы имеют последовательное паразитное сопротивление, избавиться от которого нельзя. Это сопротивление ограничивает общее подавление RC фильтра. На графике приводятся идеальные ( пунктирная линия ) и реальные характеристики каскадных RC фильтров по результатам симуляции в SPICE

==393

Эффект последовательного сопротивления хорошо виден. Он проявляется в прекращении роста подавления сигналов на частотах, где импеданс конденсатора начинает приближаться к величине ESR , в то время как для идеального конденсатора график продолжает падать по закону 1/\( f \) . Кроме того, видно, что распределение ёмкости по нескольким секциям - вполне практичная идея.

6.2.2 Идеализированные характеристики LC фильтров

Фильтры, собранные из катушек индуктивности и конденсаторов могут иметь очень резкие изломы характеристики ( §1.7.14 ). Параллельная и последовательная резонансные LC цепи рассматривались в качестве примера. Драматическую разницу между RC и LC ФНЧ с одинаковыми частотами среза можно видеть на рис. 1.112 . Добавление в схему катушек индуктивности делает возможным создание фильтров с любым желаемым уровнем неравномерности АЧХ в полосе пропускания в сочетании с резкостью перехода и уровнем подавления в полосе заграждения. На рис. 6.5 приведена схема телефонного фильтра и его впечатляющая полосовая характеристика _2 .

Рис. 6.5 Слева: неожиданно хороший полосовой пропускающий фильтр ( индуктивности в mH , ёмкости в pF ). Справа: измеренная характеристика фильтра. Великолепная чёткость срезов по границам полосы пропускания смазывается очень плохой фазовой характеристикой, см. §6.2.5 . Уровень 0 dB соответствует ∼9 dB потерь и импедансам источника и нагрузки по 10 kΩ у каждого

Очевидно, что привнесение в схему индуктивностей добавляет чего-то, чего невозможно достичь иными методами. В терминах теории цепей это «что-то» является «полюсами, не лежащими на осях» ( см. Часть ##X1 ). Но даже с индуктивностями сложность фильтра увеличивается в соответствии с требуемой гладкостью АЧХ в полосе пропускания и резкостью перехода к заграждению вне её, а от сложности зависит число компонентов. Кроме того, по мере приближения АЧХ к форме вертикальной стенки, всё хуже начинает выглядеть переходная и фазочастотная характеристика.

6.2.3 Несколько простых примеров

Пугающе сложный фильтр Орчада-Шихана на рис. 6.5 показывает, чего можно достичь с помощью синтеза классических LC фильтров _3 . Но чтобы создавать хорошие _4 конфигурации, которые будут решать поставленные задачи, вовсе не обязательно становиться непревзойдённым специалистом по проектированию фильтров. Ниже приводятся три примера простых фильтров, созданных авторами по заказу родной радиообсерватории.

==394

6.2.3.A Синусоидальный сигнал из меандра

Цифровая электроника позволяет легко создавать и преобразовывать импульсные последовательности и сигналы с точно заданными частотами, но в обсерватории, где работают авторы, требуется только синусоидальное напряжение. На рис. 6.6 показан один из путей получения синусоидального сигнала из прямоугольного с постоянной частотой - настроенный последовательный LC фильтр. Он выглядит, как очень маленький импеданс на частоте резонанса ( \( f_0=1/( 2π\sqrt{LC})\) ) _5 , а по мере удаления от неё импеданс асимптотически растёт \(∝\) 1/\( f \) на низких частотах и \(∝ f\) на высоких.

Рис. 6.6 Последовательный полосовой пропускающий LC фильтр превращает меандр в синусоидальный сигнал на 50-омной нагрузке

Номиналы LC подобраны под частоту 1 MHz таким образом, чтобы реактивное сопротивление \(X_L\) на частоте 3 MHz ( в прямоугольном сигнале имеются только нечётные гармоники, и это первая из них ) было велико по сравнению с 50-омной нагрузкой. Для \(L_1\)=100 μH импеданс на частоте 3 MHz составляет \(X_L\)=2\(πfL\)≈2 kΩ .

На рис. 6.7 показаны результаты работы реальной схемы. Некоторый прогиб прямоугольного сигнала возникает из-за нагрузки в виде фильтра и 50-омного приёмника. RC цепочка на входе LC фильтра увеличивает время нарастания, чтобы резкие фронты прямоугольного сигнала не лезли на выход через паразитную ёмкость катушки индуктивности и не портили выходной синус небольшими засечками. Обозначение «3×’HC04» указывает использованное семейство логических микросхем, см. Часть 10 .

Рис. 6.7 Вход ( нижний луч ) и выход последовательного полосового LC фильтра по схеме 6.6 , нагруженного на 50 Ω . По горизонтали 400 ns/div , по вертикали 1 V/div ( верхний луч ) и 5 V/div ( нижний )

6.2.3.B Удаление интерференционных пиков

Красивая техника, именуемая «синтез частоты с использованием фазовой автоподстройки» ( см. §13.13.6.A и §13.13.6.B ), позволяет получить сигнал любой частоты с высокой точностью её установки из единственной исходной, например, 10 MHz . На рис. 6.8 показана блок-схема синтезатора на 78 MHz с использованием PLL . Основная идея - использование генератора управляемого напряжением ( VCO ) и сравнение частоты на его выходе с опорной частотой. Для удобства сравнения любая из частот или обе вместе мугут быть поделены с любым целым коэффициентом. Разница частот создаёт сигнал ошибки, с помощью которого подстраивается частота VCO. В предложенной схеме опорная частота делится на 50 ( т.е. получается 200 kHz ), и сравнивается с выходом VCO, поделенным на 390 . Чтобы получить после такого делителя те же 200 kHz , на вход надо подать 78 MHz .

Рис. 6.8 Последовательные RC и LC цепи подавляют интерференционные компоненты от частоты 200 kHz на выходе VCO в схеме фазовой автоподстройки частоты

==395

Был собран простой, но вполне рабочий генератор на полевом транзисторе ( рис. 7.29 ), почти вся выходная энергия которого концентрировалась на основной частоте. Некоторая доля выходной мощности попадала в нежелательную область спектра, отстоящую от основной частоты на ±200 kHz . Для её подавления поперёк управляющего выхода была добавлена простая LC цепочка, настроенная на 200 kHz . Остальные компоненты схемы ( \(R_1\) , \(R_2\) и \( C_1 \) ) образуют классический петлевой фильтр цепи фазовой автоподстройки ( см. §13.13 ).

6.2.3.C Спектральный фильтр нижних частот

Аналоговые сигналы можно оцифровывать, периодически замеряя их амплитуду и переводя результат в цифровую форму. Данный процесс сопровождается резными побочными эффектами ( рис. 13.60 ) как от конечной точности измерения амплитуды, так и ненулевого времени между соседними измерениями. Правильным выбором глубины оцифровки ( точности ) и частоты измерения ( выборки ) эффекты можно снижать до некоторого уровня.

Но в данном случае важнее тот факт, что измеряемый сигнал не должен иметь в своём составе гармоники, превышающие половину частоты измерения ( \( f_s\) ) . Данное ограничение носит название критерий Найквиста _6 . Проще всего обеспечить его выполнение, пропустив сигнал через спектральный ФНЧ, давящий гармоники высшего порядка. Частота среза такого фильтра должна обеспечивать гарантированное подавление частотных компонент выше предела Найквиста \( f_s\)/2 . Здесь обычно требуется фильтр с резким переходом к полосе заграждения, в противном случае придётся поднимать частоту \( f_s\) , чтобы не допустить пролезание высших гармоник под плавный срез. Кроме того, желательно иметь плоскую АЧХ в полосе пропускания.

В приёмнике сигнала с радиотелескопа ( рис. 6.9 ) используется умножитель , чтобы преобразовать сигналы в полосе шириной 2 MHz с центром на частоте 78 MHz в сигналы в полосе 2 MHz с центром в 0 Hz . ( 78 MHz здесь – «промежуточная частота» ( IF ), а 0 Hz «базовая» ). Умножитель создаёт две синусоиды - сумму и разность входных частот: \(\cos(ω_1t )\cos(ω_2t ) \)= \(^{1}/_{2}\left[{\cos(ω_1 - ω_2 )t + \cos(ω_1+ω_2 )t}\right]\) . На входе умножителя сигнал с телескопа и фиксированная частота 78 MHz ( называемая «местный генератор» - LO ), на выходе - сигнал в базовой полосе от 0 Hz до 1 MHz _7 , который требуется оцифровать и исследовать _8 .

Рис. 6.9    7-звенный LC ФНЧ с резким срезом не допускает проникание нежелательных компонентов спектра из приемника для радиотелескопа, отсекая частоты выше границы Найквиста ( 1.25 MHz или \({f_c}\)/2 ). Для обсерватории были построены 126 таких фильтров, см. фотографию 1.111

Далее сигнал в базовой полосе усиливается и прогоняется через серьёзный спектральный фильтр, а именно: 7-звенный LC ФНЧ Чебышева с частотой среза 1.0 MHz и неравномерностью по амплитуде 0.1 dB _9 . Фильтр проектировался под несколько необычное значение входного и выходного импеданса ( 378 Ω ), чтобы воспользоваться возможностями стандартных подстраиваемых катушек индуктивности. Он убирает все спектральные компоненты выше 1 MHz , а вычищенная базовая полоса вновь усиливается, а затем оцифровывается ( с помощью устройства, называемого «аналогово-цифровой преобразователь» ) со скоростью 2.5 Msps . Соответствующая частота Найквиста равна 1.25 MHz и попадает прямо в полосу заграждения ФНЧ с очень крутым срезом. Фактические параметры оказались очень близки к расчётным: на частоте Найквиста входной сигнал ослабляется на 20 dB , а на частоте 1.5 MHz , где группируются наиболее вредные компоненты спектра, давится ещё на 16 dB . Это замечательные параметры для легко рассчитываемой и собираемой схемы, особенно если сравнивать их с результатами для RC аналога с таким же числом компонентов, в котором на частоте 1.25 \( f_с\) ослабление относительно сигнала \( f_c\) составляет всего 1.6 dB . В графическом виде картина представлена на рис. 6.10 и 6.11 .

Рис. 6.10 Резкий срез 7-звенного LC фильтра с рис. 6.9 в сравнении с плавным перегибом 7-секционного RC фильтра с такой же частотой среза ( 1 MHz ) [* см. также 1.112 ]
Рис. 6.11 Та же пара фильтров, что и на рис. 6.10 , но теперь в линейных координатах. Неравномерность фильтра Чебышева в полосе пропускания ( +0 dB/—0.1 dB или ±0.6% по амплитуде ) в таком формате видна лучше, зато неразличимы подробности подавления в полосе заграждения

==396

6.2.3.D Пассивные дифференциальные фильтры

Большинство скоростных АЦП имеют дифференциальные входы, см. §13.6.2 , а многие к тому же требуют низкоомного источника сигнала и шунтирующего конденсатора. Усилители с низкоимпедансным высокочастотным выходом рассматриваются в §5.17 , где, в том числе, на рис. 5.102 показан собранный по рекомендациям в справочных данных на AD9225 ( 25 Msps АЦП, см. также рис. 13.28 ) дифференциальный ФНЧ, состоящий из двух 50-омных резисторов и конденсатора 100 pF . Спектральные фильтры для дифференциальных входов АЦП требуются достаточно часто. Как раз для таких случаев у Texas Instruments есть отличная заметка о преобразовании однополярных фильтров в дифференциальные ##SLWA053B ( «Конструировании дифференциальных фильтров для быстрых сигналов» ).

6.2.4 Активные фильтры: общий обзор

Синтез фильтров из пассивных компонентов R, L и C - очень хорошо изученная область с массой литературы ( например, авторитетная работа Зверева [61] , см. Приложение _N ). В настоящий момент появились отличные программные средства, которые превращают расчёт конструкции в рутинную деятельность. Но индуктивности как схемные элементы оставляют желать лучшего. Часто они громоздки, дороги и слишком далеко отклоняются от идеальной модели. Потери и патологии в них слишком велики: высокое последовательное сопротивление, нелинейность, распределённая ёмкость обмоток, чувствительность к магнитным наводкам. Более того, индуктивность, нужная для низкочастотных фильтров, может потребовать физических элементов с устрашающими габаритами. И, наконец, фильтры на физических емкостях и индуктивностях нельзя перестраивать электрическим сигналом.

==397

Требуется метод построения фильтров без индуктивностей, обладающих при этом параметрами классических RLC фильтров. В идеале должна присутствовать подстройка или постоянным уровнем, или изменением частоты управляющего сигнала.

Операционные усилители позволяют строить схемы с параметрами RLC фильтров, но без физических катушек индуктивности. Такие конструкции называют активными фильтрами из-за наличия активного элемента - усилителя. Будет рассмотрен и другой класс фильтров - схемы на переключаемом конденсаторе [* или фильтры «дискретного времени» ] . В них переменные резисторы заменены МОП ключами. Характеристики таких фильтров аналогичны параметрам обычных активных фильтров ( которые иногда называют фильтрами «непрерывного времени» ), но, кроме того, позволяют изменением частоты тактирования точно настраивать частоту среза в широких пределах. Платить за подстройку приходится появлением дополнительного шума переключения и уменьшением динамического диапазона, см. §6.3.6 .

Активные фильтры можно использовать в качестве ФНЧ, ФВЧ, полосовых пропускающих и полосовых заграждающих. Плюс можно подбирать частотные характеристики: максимальную неравномерность в полосе пропускания, резкость перехода к заграждению и равномерность задержки от частоты ( об этом ниже ). Кроме того, можно создавать как «всепропускающие» фильтры - с плоской АЧХ, но заданной зависимостью фазы от частоты ( их ещё называют «корректорами задержки» ), так и их противоположность - с постоянным сдвигом фазы, но заданной АЧХ.

6.2.4.A Преобразователь отрицательного сопротивления, гиратор и обобщённый преобразователь импеданса

Существуют три интересных схемных элемента, которые требуют рассмотрения в теме активных фильтров: преобразователь отрицательного сопротивления ( NIC ), гиратор и обобщённый преобразователь импеданса ( GIC ) 10 . Эти элементы могут имитировать параметры индуктивностей, используя в дополнение к ОУ только резисторы и конденсаторы.

После разбора принципов работы означенных схем станет возможно построение RLC фильтров с идеализированными параметрами и без физических катушек индуктивности, т.е. откроется первый путь построения активных фильтров.

6.2.4.B Преобразователь отрицательного сопротивления

Преобразователь отрицательного импеданса - NIC превращает импеданс в его отрицательный эквивалент [* (–1)×n ] , а гиратор превращает импеданс в обратную величину [* 1/n ] . Следующее упражнение поможет разобраться, как это работает.

Рис. 6.12 Преобразователь отрицательного сопротивления

Упражнение 6.1
Покажите, что устройство на рис. 6.12 является преобразователем отрицательного сопротивления, т.е., что \(Z_{in}=-Z\) .
Подсказка: подайте на схему напряжение \( V_{in}\) , подсчитайте входной ток \(I\) , а затем найдите отношение \(Z_{in}=V/I\) .

NIC преобразует конденсатор в «обратную» индуктивность: \[ Z_C=\frac{1}{jωC} \to Z_{in}=\frac{j}{ωC} \quad, \qquad [6.1] \] т.е. она проявляет признаки индуктивности ( создаёт ток, задержанный по отношению к приложенному напряжению ), но имеет при этом неправильную зависимость от частоты ( снижается с увеличение частоты вместо увеличения ).

6.2.4.C Гиратор

С другой стороны, гиратор преобразует конденсатор в правильную индуктивность: \[ Z_C=\frac{1}{jωC} \to Z_{in}=jωCR^2 \quad, \qquad [6.2] \] т.е. в индуктивность с номиналом \(L=CR^2\) .

Рис. 6.13 Реализация гиратора на преобразователях отрицательного импеданса

==398

Сам факт существования гиратора приводит к пониманию принципиальной возможности построения любого фильтра только с помощью гираторов и конденсаторов без использования физических катушек индуктивности 11 . Это очень правильное использование столь необычного схемного элемента. Показанный ранее телефонный фильтр в виде забора из множества LC секций, собран на самом деле на гираторах ( по схеме гиратора Риордана, который отличается от схемы на рис. 6.13 ). Но кроме простой замены индуктивностей гираторами в существующих RLC цепях становится возможен синтез иных топологий фильтров.

Упражнение 6.2
Покажите, что схема 6.13 является гиратором, т.е. \(Z_{in}=R^2/Z\) .
Подсказка: схему можно рассматривать как набор делителей напряжения и начать её разбор справа [* подобно разбору R-2R цепочки ] .

6.2.4.D Обобщённый преобразователь импеданса

Схема 6.14 известна под именем «обобщённый преобразователь импеданса» ( GIC ) 12 . Она умножает импеданс \(Z_5\) на отношение ( \(Z_1Z_3 )/(Z_2Z_4\) ) . Если в качестве \(Z_4\) взять конденсатор, а во все остальные места поставить резисторы, то получится индуктивность с номиналом \(L=( R_1R_3R_5/R_2 )C_4\) , т.е. схема превратится в гиратор. Но GIC способен на большее. Например, если поставить конденсаторы вместо \(Z_3\) и \(Z_5\) , то получится частотно зависимый отрицательный резистор ( FDNR ). Фильтры на подобных элементах очень популярны в звуковой технике, т.к. считается, что они превосходят фильтры Саллена-Ки ( см. §6.2.4.E ) по шумовым характеристикам и уровню искажений. Область безындуктивных фильтров цветёт и пополняется новыми топологиями едва ли не каждый месяц.

Рис. 6.14 Обобщённый преобразователь импеданса. Если в качестве \(Z_4\) взять конденсатор, а для остальных импедансов - резисторы, то схема будет вести себя подобно индуктивности. По A. Antoniou, lEE Proc., 116, 1838-1850 ( 1969 )

Ограничения

Как и в случае всех прочих схем на ОУ, гираторы, NIC и GIC сильно зависят от рабочей полосы усилителя ( и других параметров ). Таким образом, индуктивность, выполненная на GIC ( конденсатор на месте \(Z_4\) , резисторы - всё остальное ) перестаёт работать уже на частотах, превышающих несколько процентов от рабочей полосы ОУ ( \( f_T \) ) . Результаты моделирования ( рис. 6.15 ) показывают, что получится в итоге. Грубо говоря, практически идеальная на низких частотах индуктивность начинает вести себя на высоких как конденсатор, а границей между этими двумя режимами является частота резонанса 13 . Ситуация, без сомнения, огорчительная, но здесь стоит заметить, что на низких частотах такая «индуктивность» будет иметь очень высокую добротность \(Q\) - на уровне \( 2×10\space^5\) на частоте 1 kHz . Здесь предполагается, что нижняя граница импеданса, т.е. потери в индуктивности, определяется только эквивалентным последовательным сопротивлением ESR=4.8 mΩ , но в реальной жизни у катушки есть и другие потери, поэтому добротность, превышающая величину Q=1000 , для индуктивности в доли генри - очень, очень неплохой результат. Входная ёмкость скоростных ОУ ( \( f_T \)=50 MHz ) составляет всего 2.3 pF . Получить такие же низкие значения «ёмкости обмоток» или столь высокую частоту собственного резонанса в индуктивности величиной 160 mH невозможно.

Рис. 6.15 Результаты моделирования в SPICE. Конечная рабочая полоса ОУ ухудшает идеальную GIC индуктивность и превращает её в ёмкость, уже начиная с частот, составляющих малую часть от \( f_T \) . Но даже в этом случае сравнение с физической катушкой индуктивности, обладающей ёмкостью обмотки и частотой собственного резонанса, показывает однозначное преимущество GIC индуктивности с теми же параметрами. У последней «ёмкость обмоток» и «частота резонанса» определяются рабочей полосой ОУ. ( Следует иметь в виду, что для построения графиков использовались идеальные конденсаторы )

Гираторы вполне себе используются в реальных фильтрах, см. заметку по применению, в которой Texas Instruments предлагает использовать многокаскадные GIC для построения спектральных фильтров 14 . Stanford Research Systems использует четыре GIC, из которых собран R+LC делитель, являющийся основой эллиптического фильтра низких частот ( 8 нулей, 9 полюсов ) для SR830 - синхронного усилителя на базе DSP. «Таким образом, все частотные компоненты, превышающие половину частоты выборки, подавляются как минимум на 96 dB». Скорость работы АЦП составляет 256 kHz , а фильтр пропускает частоты от постоянного тока до 102 kHz . Дополнительный запас 25% по частоте используется для достижения заявленных 96 dB подавления 15 . Полная схема фильтра включена в замечательно информативную документацию к прибору - фирменный знак всей продукции фирмы SRS.

==399

6.2.4.E Фильтр Салена-Ки

На рис. 6.16 показаны примеры простых и даже довольно понятных фильтров, построенных по уже знакомой из §4.3.6 топологии. Эти схемы названы по именам первооткрывателей фильтрами Саллена-Ки ( Sallen-and-Key ) 16 . В качестве буфера может использоваться включённый повторителем ОУ или обычный эмиттерный ( или истоковый ) повторитель. На схема показаны 2-полюсные ФНЧ и ФВЧ. Разберём в качестве примера ФНЧ ( рис. 6.16A ). Если не учитывать вольтодобавку с выхода, которая подпирает нижний конец первого конденсатора, перед нами простой двухкаскадный RC фильтр. Легко показать, что на высоких частотах схема будет иметь такой же наклон характеристики, как и две последовательные RC цепочки, потому что на выходе в этот момент будет нуль. По мере уменьшения частоты сигнал на выходе увеличивается, а вольтодобавка стремится снизить воздействие первой секции, заостряя перегиб на АЧХ. Вся эта жестикуляция не может, конечно, заменить точный анализ, который, к счастью, уже сделан для умопомрачительного числа отличных фильтров. После некоторого пояснения типов фильтров и их параметров данная схема будет вновь рассмотрена в §6.3 .

Рис. 6.16 Фильтры низких и высоких частот Саллена-Ки. На общие параметры этих простых схем влияет ненулевой выходной импеданс повторителя, см. рис. 6.36

6.2.5 Ключевые параметры для описания фильтра

Есть несколько стандартных терминов, которые будут часто упоминаться при описании тех или иных параметров фильтров. Правильнее будет начать с их пояснения.

6.2.5.A Частотная область

Начнём с описания в частотной области . Наиболее очевидная характеристика - зависимость усиления от частоты [* АЧХ] . На рис. 6.17 она дана для фильтра нижних частот.

Рис. 6.17 Частотные характеристики фильтра

Полоса пропускания ( passband ) - диапазон частот, внутри которого в идеале сигнал фильтром не изменяется. Чаще всего считается, что полоса пропускания простирается до точки «-3dB», но в некоторых фильтрах ( наиболее известный их тип «с постоянным уровнем пульсаций» , он же «Чебышева» ) конец полосы пропускания может указываться как-то иначе. В полосе пропускания на характеристике может быть заметна некоторая неравномерность - пульсации ( ripple ), обозначаемая как уровень неравномерности ( ripple band ). Частота среза ( cutoff frequency ) \( f_c\) - частота окончания полосы пропускания. Далее характеристика фильтра проходит через область перехода ( transition region ) ( иногда образно называемый «юбкой» ) и попадает в полосу заграждения ( stopband ) - область, где входной сигнал ослабляется ( подавляется ) существенным образом. Иногда полоса заграждения задаётся минимальным уровнем подавления, например, 40 dB .

==400

Кроме АЧХ в частотной области есть ещё одна важная характеристика - сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного. Другими словами, интересен комплЕксный отклик фильтра, который обычно обозначается \(\mathbf{H( s )}\) , где \(\mathbf{s}=jω\) , а \(\mathbf{H}\) и \(\mathbf{s}\) - комплЕксные числа. Фаза важна, потому что сигнал, попадающий в полосу пропускания, будет проходить на выход с искажениями формы, если задержка при прохождении фильтра для разных частот не постоянна. Постоянное время задержки соответствует линейной зависимости сдвига фазы от частоты \[ Δ t=-\frac{dφ}{dω}=-\frac{1}{2π}\frac{dφ}{df}. \] Отсюда возникает термин «линейно фазовый фильтр» , который относится к идеальной с этой точки зрения конструкции. На рис. 6.18 показаны графики АЧХ и ФЧХ фильтра нижних частот, который не является линейно фазовым. График зависимости фазы от частоты удобнее изображать в линейных координатах.

Рис. 6.18 Сдвиг фазы ( задержка ) и амплитудная характеристика для фильтра нижних частот Чебышева 8-го порядка ( 8 полюсов ) ( неравномерность в полосе пропускания 2 dB ). График нормируется по верхним пиковым значениям в полосе пропускания, а частота среза или «критическая частота» - точка, в которой усиление выходит за допуск неравномерности полосы пропускания. Усиление фильтра на постоянном токе 0 dB . У фильтров с чётным порядком ( подобно показанному здесь ) график растёт от постоянного тока, а в фильтрах с нечётным порядком - снижается

6.2.5.B Временная область

Подобно другим схемам, работающим на переменном токе, фильтры можно описывать в терминах временнОй области: время нарастания, величина выброса, звон, время установления. Все эти параметры особенно важны для перепадов и импульсных сигналов. На рис. 6.19 показана реакция фильтра нижних частот на перепад. Время нарастания ( rise time ) здесь, как обычно, время, требуемое выходному сигналу, чтобы измениться от 10% до 90% итоговой величины. Гораздо интереснее время установления ( settling time ). Это время, которое требуется, чтобы выходной сигнал попал в указанный допуск величины и остался в нём. Время задержки ( delay time ) - промежуток времени, проходящий между входным перепадом и моментом, когда выходной сигнал достигает 50% итогового выходного значения 17 . Выброс ( Overshoot ) и звон ( ringing ) понятные без объяснений нежелательные параметры. Фазовые характеристики определяют соответствующее время задержки, которое иногда можно видеть в графическом ( или табличном ) виде под именем групповое время задержки от частоты ( group delay ) 18 .

Рис. 6.19 Временные характеристики фильтра. Простой RC фильтр, к примеру, не будет иметь выброса и звона, его время нарастания \( t_r\)=2.2 \(RC\) (≈0.35 /\( f_{3dB} \)) , время задержки \( t_d\)=0.69 \(RC\) , а время установления с точностью 1% \(t_s\)=4.6 \(RC\)

6.2.6 Типы фильтров

Предположим, что требуется ФНЧ с плоской АЧХ в полосе пропускания и резким переходом к полосе заграждения. Полная скорость спада при переходе к полосе заграждения всегда равна (6×n) dB/octave , где n - число «полюсов» [* т.е. порядок фильтра ] . На каждый полюс требуется один конденсатор ( или одна индуктивность ) [* каждый реактивный элемент равен +1 к порядку фильтра ] , поэтому окончательный наклон характеристики определяется сложностью фильтра.

==401

Тогда, предположим, что используется фильтр 6-го порядка. Это гарантирует, что на высоких частотах наклон будет 36 dB/octave . Понятно, что можно оптимизировать схему для увеличения гладкости характеристики в полосе пропускания, заплатив за это более медленным переходом к заграждению. Альтернативный путь предполагает допустимость некоторой неравномерности АЧХ в полосе пропускания, но существенное увеличение наклона при переходе. Третий вариант - способность фильтра пропускать сигналы без искажений, вызванных сдвигом фаз. Можно проводить оптимизацию по времени нарастания, величине выброса, времени установления. В общем случае, все указанные характеристики взаимозависимы, и придётся что-то выбирать, т.к. фильтр с резким срезом будет иметь плохие параметры во временной области ( а именно: будут проблемы со звоном и сдвигом фазы ).

Существуют фильтры с конструкцией, оптимизированной для улучшения любого из перечисленных параметров или их сочетаний. Фактически разумный выбор фильтра нельзя проводить так, как это было описано только что. Вместо этого надо начинать с набора требований по неравномерности полосы пропускания, ослабления на некоторой частоте, вне её и прочих интересующих параметров. После этого можно будет подобрать удовлетворяющий требованиям тип фильтра и его сложность ( необходимое число полюсов ) 19 . В нескольких следующих параграфах будут описаны три классические схемы: Баттерворта ( максимально плоская АЧХ в полосе пропускания ), Чебышева ( самый резкий переход от пропускания к заграждению ) и Бесселя ( наиболее плоское распределение времени задержки по частоте ). Каждая схема имеет множество реализаций, некоторые из которых описываются ниже. Все можно использовать в виде фильтра нижних частот, верхних частот, полосового пропускающего и полосового заграждающего 20 .

6.2.6.A Фильтры Баттерворта и Чебышева

Фильтр Баттерворта имеет самую плоскую АЧХ в полосе пропускания, но платит за это скоростью перехода от пропускания к заграждению. Вдобавок имеет посредственные фазовые и переходные параметры. Усиление по амплитуде описывается уравнением \[ \frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{f}{f_c}\right )^{2n}}} \quad, \qquad [6.3] \] где n - порядок фильтра ( число полюсов ). Увеличение числа полюсов делает АЧХ всё более плоской и увеличивает крутизну перехода к заграждению ( рис. 6.20 ).

Рис. 6.20 Нормализованные характеристики ФНЧ Баттерворта. Хорошо видно улучшение подавления по мере роста порядка фильтра

Все характеристики фильтра Баттерворта приносятся в жертву гладкости и плоскости АЧХ в полосе пропускания. График почти совершенно горизонтален в полосе пропускания и начинает изгибаться совсем рядом с частотой среза ( за которую принимается точка «-3dB» ).

==402

В большинстве случаев всё, что на самом деле нужно, просто удержать колебания в полосе пропускания ниже какого-то заданного значения, например, 1 dB . На такие требования ориентирован фильтр Чебышева, который позволяет себе некоторую неравномерность в полосе пропускания, но сильно увеличивает резкость перехода, если сравнивать с «максимально плоским» фильтром Баттерворта. Фильтр Чебышева специфицируется по числу полюсов и уровню пульсаций. Чем выше допустимая неравномерность, тем резче переход к заграждению. Амплитуда выражается соотношением \[ \frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{1}{\sqrt{1+ε^2 C_n^2({f}/{f_c})}} \quad, \qquad [6.4] \] где \( C_n\) - полином Чебышева для заданного порядка фильтра, а ε - константа, задающая уровень пульсаций. Фазовая и переходная характеристика фильтра Чебышева ещё хуже, чем у Бесселя.

На рис. 6.21 даны для сравнения АЧХ фильтров Чебышева и Баттерворта 6-го порядка. Оба несравнимо эффективнее, чем 6-звенная RC цепь.

Рис. 6.21 Сравнение популярных фильтров 6-го порядка. Одни и те же графики изображены в логарифмических и в линейных координатах. Показаны реальные цифры усиления вместо «нормализации уровня 0 dB по верхней границе»

Практика показывает, что фильтр Баттерворта с «максимально плоской» характеристикой может оказаться не столь привлекательным, как представлялось изначально. Некоторая неравномерность будет присутствовать в любом случае. Для «Баттерворта» она выражается в частичном спаде вблизи от \( f_c\) , а для «Чебышева» в обязательном присутствии волн одинаковой амплитуды на всём протяжении полосы пропускания. Кроме того, схема собирается из компонентов, имеющих вполне конкретный допуск номинала, и будет отклоняться от расчётных характеристик. Всё это означает, что в реальном фильтре Баттерворта будут присутствовать какие-то пульсации в полосе пропускания. Воздействие точности номиналов резисторов и конденсаторов на итоговую АЧХ показаны на рис. 6.22 .

Рис. 6.22 Влияние точности компонентов на характеристики фильтра

В свете сказанного фильтр Чебышева оказывается очень рациональной конструкцией. Картина в зоне перехода улучшается за счёт размазывания волны по всей полосе пропускания 21 . Число пиков увеличивается вместе с порядком фильтра. Даже при достаточно малой амплитуде волны ( например, 0.1 dB ) у «Чебышева» гораздо более резкий излом характеристики, чем у «Баттерворта». Чтобы дать представление о цифрах, предположим, что требуется фильтр с неравномерностью 0.1 dB в полосе пропускания и подавление 20 dB на частоте 1.25 от верхней границы полосы пропускания. Расчёты говорят, что потребуется 19-полюсный фильтр Баттерворта, но только 8-полюсный Чебышева.

Идея размена некоторого уровня пульсации в полосе пропускания на большую резкость спуска в зоне перехода, аналогичную фильтру Чебышева, доведена до логического завершения в эллиптических фильтрах ( фильтрах Кауэра ). В них ещё более крутой, чем у «Чебышева», спад в зоне перехода 22 разменивается на пульсации и в полосе пропускания, и в полосе заграждения. Такие фильтры можно использовать, если подходит их особенность - достижение заданного значения подавления и сохранение его на протяжении всей полосы заграждения ( вместо того, чтобы продолжать спад с наклоном (6×n) dB/octave ). В качестве компенсации получаем более простую схему с приличными фазовыми и амплитудными характеристиками, о чём далее. Программные средства разработки превращают расчёт всех фильтров, включая эллиптические, Баттерворта и Чебышева в несложную рутинную работу.

==403

Рис. 6.23 Задание частотных параметров фильтра

На рис. 6.23 показано, как задаётся характеристика фильтра в графической форме. Здесь указывается допустимый коридор для усиления в полосе пропускания ( т.е. неравномерность \( Gmax-Gmin\) ) , минимальная частота, на которой происходит выход из полосы пропускания ( \( f_{cutoff}\) ) , максимальная частота, на которой происходит вход в полосу заграждения, ( \( f_{stop}\) ) и минимальное значение подавления в полосе заграждения ( \( G_{stop}\) ) . На рис. 6.24 сравниваются характеристики фильтров, которые должны удовлетворять указанным требованиям. В данном случае речь идёт о фильтре Чебышева 11-го порядка и эллиптическом 6-го порядка. Чтобы влезть в указанные границы потребовался бы фильтр Баттерворта 32-го порядка! Наименее сложный вариант - эллиптический - имеет самые лучшие фазовые характеристики, но его спад не продолжается монотонно по достижении указанного для заграждения уровня.

Рис. 6.24 Пример задания фильтра нижних частот. Требованиям спецификации удовлетворяет 6-полюсный эллиптический фильтр ( пунктирная линия ). Он имеет пульсации и в полосе пропускания, и в полосе заграждения. Под те же требования подходит уже 11-полюсный фильтр Чебышева ( сплошная линия ), но у него пульсации только в полосе пропускания, или 32-полюсный Баттерворта – «максимально плоский» без пульсаций в полосах пропускания и заграждения

6.2.6.B Фильтр Бесселя

Ранее уже говорилось, что АЧХ фильтра - это ещё не всё. Фильтр с плоской характеристикой может иметь резкое изменение фазы, которое приведёт к различным временам задержки для сигналов, попадающих в полосу пропускания. В результате форма сигнала, проходящего через фильтр, будет искажаться. [*] . Если важна целостность формы сигнала, понадобится линейно-фазовый фильтр ( он же «с постоянным временем задержки» ). Схема, чей сдвиг фазы линейно зависит от частоты, соответствует постоянному времени прохождения частотных компонентов сигнала, попадающих в полосу пропускания, т.е. форма сигнала не искажается. Наиболее равномерное распределение времени задержки по частоте имеет фильтр Бесселя ( иногда называемый «фильтром Томсона» ) 23 . Это его свойство чем-то похоже на плоскую амплитудную характеристику фильтра Баттерворта.

[*]
[* Механизм аналогичен технике спектрального анализа в химии, когда раствор вещества или смесь газов проходит через узкий канал, причём различные компоненты раствора ( в нашем случае частотные составляющие ) проходят его с разной скоростью и появляются на выходе в разное время, позволяя выяснить состав исходной смеси. Так же действует стеклянная призма на пути луча света.

Возьмём, к примеру, фильтр Орчада-Шихана §6.2.2 . В сноске #2 про него сказано, что «...фазовая характеристика в полосе пропускания: 495° запаздывания на частоте 16.5 kHz . Нелинейность увеличивается ( правильнее было бы говорить «закручивается» ) до 1270° на 19.5 kHz . К счастью, фаза мало виляет на восприятие звука». Т.е. имеем ситуацию, при которой сигнал с частотой 16 kHz проходит на выход за 1.3 цикла ( 490/360 ), а 20 kHz за 4 цикла ( 1270/360 ) своих частот и надеемся, что «мало повлияет». Но я не о том. Низкочастотный сигнал быстрее ( в периодах своей частоты ) проходит на выход, чем высокочастотный. На входе схемы они были одновременно, а на выход один добирается за 1.3 своих цикла, а другой и вовсе за 4. Второй уже пятницу ( на входе схемы ) отмечает ( а у первого только вторник ), когда на выход, наконец, данные по понедельнику добрались. ]

Рис. 6.25 (A) Сдвиг фазы в зависимости от частоты для трёх типов фильтров, каждый из которых настроен на частоту среза 1 kHz ( вертикальная линия ). (B) Зависимость времени задержки от частоты для того же набора. Отметим изменение единиц вертикальной оси и линейный масштаб изображений

Чтобы понять, какие улучшения во временной области несёт с собой фильтр Бесселя, можно глянуть на рис. 6.25 , где сравнивается зависимость сдвига фаз и времени задержки от частоты для трёх вариантов: Бесселя, Баттерворта и Чебышева. Два последних - классические фильтры с резкими изломами характеристик. Плохие параметры по времени задержки у Баттерворта, а ещё того хуже у Чебышева, приводят к появлению искажений формы сигналов и выбросам для импульсных сигналов, см. рис. 6.26 . [*] С другой стороны, за постоянство формы в фильтре Бесселя приходится платить более плавным переходом к полосе заграждения, чем у «Баттерворта», а уж тем более «Чебышева». Причём, важно отметить, что увеличение числа последовательных секций в фильтре Бесселя ( т.е. увеличение его порядка ) практически не сказывается на резкости излома переходной характеристики. Зато оно улучшает линейность фазы ( постоянство времени задержки ) и увеличивает, конечно, итоговый наклон в зоне перехода в соответствии с асимптотическим пределом (6×n) dB/octave ( см. рис. 6.30 ).

[*]
[* В импульсных сигналах с крутыми фронтами очень много гармоник, и есть чему расслаиваться по времени. Вообще из изложенного читателю должно быть понятно, что чем острее и чётче излом на переходе к полосе заграждения ( чем «лучше», «идеальнее» фильтр в частотной области ), тем хуже будут параметры во временной области - выбросы на фронтах и т.п. «В пределе» для кусочно-линейной характеристики ( для сочленения двух прямых отрезков ) выброс на фронте сигнала ( производная ) будет бесконечен ( угол наклона графика производной 90° ). Короче, пора уже выбрать: вам излом или таки линейность? ]

Рис. 6.26 Реакция на перепад 1V в момент t=0 для трёх фильтров с предыдущих рисунков

==404

Имеется достаточно попыток улучшения АЧХ и времени нарастания фильтра Бесселя за счёт некоторого ухудшения времени задержки. Фильтр Гаусса имеет почти такие же хорошие фазовые параметры, как Бессель, и чуть лучшую реакцию на перепад. Есть другой класс фильтров, которые позволяют иметь одинаковую «амплитуду пульсаций» у времени задержки в полосе пропускания ( по аналогии с пульсациями настоящей амплитуды у «Чебышева» ) и обеспечивают постоянное время задержки даже для сигналов далеко уходящих в полосу заграждения. [*] Такие схемы иногда называют «линейно-фазовые» фильтры. Их параметры задают через пульсацию фазы ( например, 0.5° ) в полосе пропускания. Ещё одним решением проблем с общим временем задержки являются всепропускающие фильтры, также известные в качестве корректоров задержки . У них постоянное усиление по частоте, а сдвиг фазы можно настраивать в соответствии с конкретными требованиями, исправляя времена задержки любого фильтра, включая «Баттерворта» и «Чебышева».

[*]
[* Почему это важно? Дело в том, что даже низкочастотный сигнал имеет в своём спектре бесконечное число гармоник ( ряд Фурье ), в т.ч. и очень высокочастотных ( а если фронты резкие, то и уровень ВЧ-гармоник будет достаточно заметным ). Линейная фазовая характеристика позволяет всему набору гармоник идти вместе. Для оптических лучей, прошедших через стеклянный объектив данное явление будет выглядеть как отсутствие радужной каймы по границам света-тени изображения. Видели такие стёкла? И я не видел ].

==405

6.2.6.C Сравнение фильтров

Несмотря на недостатки частотных параметров фильтра Бесселя, его временные характеристики далеко превосходят таковые у «Баттерворта» и «Чебышева». «Чебышев», имея весьма привлекательные амплитудные параметры, показывает самые плохие из трёх участников результаты во временной области. «Баттерворт» занимает промежуточные позиции и во временной, и в частотной области. Табл. 6.1 на стр. 405 , а также рис. 6.26 и 6.27 дают более целостную картину о поведении во временной области и дополняют частотные графики, представленные ранее. Очевидно, что, если основное внимание направлено во временную область, лучшим выбором будет «Бессель».

Рис. 6.27 Сравнение реакции на скачок для 8-полюсных ФНЧ с частотой среза 1 Hz

Table 6.1 Time-domain Performance Comparison for Lowpass Filtersa

Notes: (a) a design procedure for these filters is presented in the section “VCVS circuits.”

6.2.7 Реализация фильтров

В следующей главе рассказывается, как строить схемы фильтров с использованием резисторов, конденсаторов и ОУ. Все такие схемы называются активными фильтрами и не требуют катушек индуктивности. Это хорошо, потому что физические индуктивности громоздки, несовершенны и недёшевы.

В то же время на частотах выше 100 kHz часто бывает удобнее использовать пассивные фильтры, вроде спектральных ФНЧ, показанных на рис. 6.9 . Есть два пути: строить что-то своё или покупать готовое. Чтобы собирать своё, следует залезть в какую-либо из множества расчётных таблиц ( примеры расчётов можно найти в Приложении _E ) или запустить специальную программу ( см. §6.3.8 ), чтобы найти величины L и C для интересующей схемы. Если речь идёт о паре устройств, можно использовать настраиваемую катушку с сердечником ( подобрав номинал с помощью измерительного моста или RLC-метра ) и 1% конденсаторы, чтобы получить нужную точность.

==406

Или можно просто залить проблему деньгами: есть десятки фирм, выпускающих стандартные и заказные фильтры. Они будут рады оказать помощь. На низкочастотном конце спектра ( скажем, ниже 100 MHz ) схемы собираются на обычных отдельных компонентах L и C, а на высокочастотном их выполняют по коаксиальным и микрополосковым технологиям. Если требуется что-либо из стандартного модельного ряда ( например, из каталога Mini-Circuits Labs ), то стоит оно недорого и поставляется со склада. В противном случае, придётся заплатить приличную сумму и подождать, пока отыщут или сделают. Вот фирмы, чью продукцию используют авторы: Lark Engineering, Mini-Circuits Laboratories, Trilithic ( Cir-Q-Tel ) и TTE.

1 Этот обратный сдвиг частоты среза иногда называют «коэффициентом сжатия» . Для n идентичных последовательных буферированных RC ФНЧ частота «3dB» считается как \( f_{3dB}(n )/f_{3dB}(1)=\sqrt{2^{[1/n]}-1}\) . <-

2 Зато не показана не столь впечатляющая фазовая характеристика в полосе пропускания: 495° запаздывания на частоте 16.5 kHz . Нелинейность увеличивается ( правильнее было бы говорить «закручивается» ) до 1270° на 19.5 kHz . К счастью, фаза мало виляет на восприятие звука. <-

3 Схема опирается на рис. 11 и 12 из статьи Orchard, H. J., and Sheahan, D. E., “Inductorless Bandpass Filters”, IEEE Journal of Solid-State Circuits, Vol. SC-5, No. 3 ( 1970 ), где разработчики показывают реализацию активного фильтра, подменяющего собой эту сложную конструкцию из пассивных компонентов. Основная мысль публикации состоит в том, что схему с более высокими параметрами и в меньших габаритах можно создать, если заменить физические катушки индуктивности гираторами ( §6.2.4.C ). Схема из статьи была выполнена с использованием «гираторов Риордана», в которых каждая индуктивная π-секция ( три катушки, включая одну плавающую ) была выполнена на счетверённом ОУ, девяти резисторах и двух конденсаторах. Орчад и Шихан утверждают, что для получающихся «индуктивностей» вполне достижима добротность более 1000 , а основные сложности доставляет величина произведения усиление-полоса [* т.е. GBW ] доступных ОУ. Используемая ими техника реализации гиратора из ранних 1970-х занимает 1 кубический дюйм и имеет значительно более высокие параметры, нежели цифры, достижимые с помощью обычных индуктивностей. Заинтересовавшиеся читатели могут обратиться к статье R. H. S. Riordan, “Simulated inductors using differential amplifiers,” Electronic. Letters 3, pp. 50-51 ( Feb. 1967 ). <-

4 «Лучшее - враг хорошего». Высказывание приписывается советскому адмиралу Сергею Горшковы, Карлу фон Клаузевицу и Вольтеру. (“..Soviet Admiral Sergei Gorshkov, to Carl von Clausewitz, and to Voltaire.”) <-

5 Если бы потерь в индуктивности и конденсаторе не было, импеданс был бы равен нулю. <-

6 Нарушение данного правила приводит к возникновению фантомных сигналов , т.е. появлению в выходном цифровом потоке сигналов, изначально отсутствовавших в измеряемом напряжении, см. §13.5.1.B ). <-

7 И сигнал с частотой 156 MHz , который вырезается спектральным ФНЧ. <-

8 Дальше сигнал проходит преобразование Фурье и распадается на спектральные составляющие. Если точно, то в базовой полосе присутствуют сигналы от -1 MHz до +1 MHz , которые одиночный умножитель ужимает в одну полосу 0...1 MHz . Чтобы получить полную полосу сигнала, используются два умножителя: один для синусоидального LO сигнала, а другой - для косинусоидального. Сигналы в паре имеют имена «I» и «Q» . Оба независимо оцифровываются, чтобы получить комплЕксную временнУю последовательность для комплЕксного же преобразования Фурье. <-

9 Это тот самый фильтр, который авторы использовали для получения картинки реакции на линейную развёртку частоты на рис. 1.112 . <-

10 Также известный как преобразователь иммитанса (immittance ) общего вида. [* Иммитанс - понятие, обобщающее полное сопротивление и полную проводимость] . <-

11 Большая часть схем гираторов привязана к земляному потенциалу, т.е. с их помощью можно имитировать катушку, подключенную к земле, а вот плавающую индуктивность нельзя. <-

12 Или другое название – «обобщённый преобразователь иммитанса» [* общее сопротивление плюс общая проводимость] . <-

13 Выброс на вершине можно сгладить, если поставить последовательно с конденсатором в гираторе резистор с номиналом, примерно равным реактивному сопротивлению конденсатора на частоте резонанса. <-

14 Заметка по применению AB-026A за авторством Рика Даунса ( Rick Downs ). Внутреннее обозначение TI - ##sbaa001, 1991. <-

15 Подробности от SRS.

«В основе конструкции лежит лестничный LC фильтр делителе с несимметричным согласованием. Индуктивности реализованы в виде активных гираторов на паре ОУ. Лестничные фильтры на пассивных LC делителях очень спокойно относятся к точности компонентов, но из-за того, что каскады делителя связаны между собой, изменение номинала одного компонента влияет на весь делитель. Схема рассчитана таким образом, чтобы характеристики последующих ступеней изменялись сообразно и в таком направлении, при котором минимизируется воздействие на делитель в целом. Это не только позволяет снизить чрезмерные требования к точности резисторов и конденсаторов, но и делает фильтр весьма устойчивым к изменению температуры в широких пределах. В итоге использованный в SR830 спектральный фильтр удовлетворяет требованиям спецификации без какой-либо калибровки».
<-

16 R. P. Sallen and E. L. Key, “A practical method of designing RC active filters,” IRE Trans. Circuit Theory, 2 (1), 74-85 ( 1955 ). <-

17 Иногда \( t_d\) определяется для уровня 10% ( а не 50% ) от итогового выходного уровня. <-

18 Термин пришёл из анализа распространения волн в рассеивающих средах, где надо различать фазовую скорость и групповую скорость. Последняя относится к скорости, с которой группа частот совместно определяет параметры волнового фронта, распространяющегося в среде. Групповая задержка - аналогичная величина, обозначаемая \( T_g\) для сигнала, проходящего через фильтр. Связь между групповой задержкой и сдвигом фазы выражается уравнением \( T_g=-dφ/dω=-\frac{1}{2π}\frac{dφ}{df}\) . <-

19 Раньше разработчик брал толстый справочник по фильтрам, забитый таблицами и графиками, а теперь всё стало значительно проще: есть хорошие программы, помогающие выбрать тип фильтра и рассчитать все необходимые цифры. Linear Technology и Texas Instruments предлагают свободные программы на своих сайтах ( FilterCAD™ и FilterPro™ соответственно ). Есть также документация от LTC: ##AN38 и ##DN245. <-

20 Кроме того, фильтры используют для эквализации ( подгона АЧХ/ФЧХ под заданный профиль ). В такой задаче понадобится ещё и фазовый эквалайзер ( или корректор задержки ). Он позволяет менять фазу, имея при этом плоскую АЧХ, и называется всепропускающим фильтром. <-

21 Их иногда называют фильтрами с постоянными пульсациями . <-

22 Или меньший порядок при заданном наклоне в зоне перехода. <-

23 Фридрих Бессель ( 1784-1846 ) - немецкий математик, который не был практикующим схемотехником, но создал математическую основу для построения фильтров. Обозначение «Бесселя-Томсона» отражает факт реализации фильтра: Thomson, W. E., “Delay Networks having Maximally Elat Frequency Characteristics,” Proceedings of the Institution of Electrical Engineers, Part III, 96 44, pp. 487-490 ( 1949 ). <-

Previous part:

Next part: