Шапка

6.2 (II) Виды фильтров

6.2.5 Ключевые параметры для описания фильтра

Есть несколько стандартных терминов, которые будут часто упоминаться при описании тех или иных параметров фильтров. Правильнее будет начать с их пояснения.

6.2.5.A Частотная область

Начнём с описания в частотной области . Наиболее очевидная характеристика - зависимость усиления от частоты [* АЧХ] . На рис. 6.17 она дана для фильтра нижних частот.

Рис. 6.17   Частотные характеристики фильтра

Полоса пропускания ( passband ) - диапазон частот, внутри которого в идеале сигнал фильтром не изменяется. Чаще всего считается, что полоса пропускания простирается до точки «-3dB», но в некоторых фильтрах ( наиболее известный их тип «с постоянным уровнем пульсаций» , он же «Чебышева» ) конец полосы пропускания может указываться как-то иначе. В полосе пропускания на характеристике может быть заметна некоторая неравномерность - пульсации ( ripple ), обозначаемая как уровень неравномерности ( ripple band ). Частота среза ( cutoff frequency ) \( f_c\) - частота окончания полосы пропускания. Далее характеристика фильтра проходит через область перехода ( transition region ) ( иногда образно называемый «юбкой» ) и попадает в полосу заграждения ( stopband ) - область, где входной сигнал ослабляется ( подавляется ) существенным образом. Иногда полоса заграждения задаётся минимальным уровнем подавления, например, 40 dB .

Кроме АЧХ в частотной области есть ещё одна важная характеристика - сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного. Другими словами, интересен комплЕксный отклик фильтра, который обычно обозначается \(\mathbf{H( s )}\) , где \(\mathbf{s}=jω\) , а \(\mathbf{H}\) и \(\mathbf{s}\) - комплЕксные числа. Фаза важна, потому что сигнал, попадающий в полосу пропускания, будет проходить на выход с искажениями формы, если задержка при прохождении фильтра для разных частот не постоянна. Постоянное время задержки соответствует линейной зависимости сдвига фазы от частоты \[ Δ t=-\frac{dφ}{dω}=-\frac{1}{2π}\frac{dφ}{df}. \] Отсюда возникает термин «линейно фазовый фильтр» , который относится к идеальной с этой точки зрения конструкции. На рис. 6.18 показаны графики АЧХ и ФЧХ фильтра нижних частот, который не является линейно фазовым. График зависимости фазы от частоты удобнее изображать в линейных координатах.

Рис. 6.18   Сдвиг фазы ( задержка ) и амплитудная характеристика для фильтра нижних частот Чебышева 8-го порядка ( 8 полюсов ) ( неравномерность в полосе пропускания 2 dB ). График нормируется по верхним пиковым значениям в полосе пропускания, а частота среза или «критическая частота» - точка, в которой усиление выходит за допуск неравномерности полосы пропускания. Усиление фильтра на постоянном токе 0 dB . У фильтров с чётным порядком ( подобно показанному здесь ) график растёт от постоянного тока, а в фильтрах с нечётным порядком - снижается

6.2.5.B Временная область

Подобно другим схемам, работающим на переменном токе, фильтры можно описывать в терминах временнОй области: время нарастания, величина выброса, звон, время установления. Все эти параметры особенно важны для перепадов и импульсных сигналов. На рис. 6.19 показана реакция фильтра нижних частот на перепад. Время нарастания ( rise time ) здесь, как обычно, время, требуемое выходному сигналу, чтобы измениться от 10% до 90% итоговой величины. Гораздо интереснее время установления ( settling time ). Это время, которое требуется, чтобы выходной сигнал попал в указанный допуск величины и остался в нём. Время задержки ( delay time ) - промежуток времени, проходящий между входным перепадом и моментом, когда выходной сигнал достигает 50% итогового выходного значения 17 . Выброс ( Overshoot ) и звон ( ringing ) понятные без объяснений нежелательные параметры. Фазовые характеристики определяют соответствующее время задержки, которое иногда можно видеть в графическом ( или табличном ) виде под именем групповое время задержки от частоты ( group delay ) 18 .

Рис. 6.19   Временные характеристики фильтра. Простой RC фильтр, к примеру, не будет иметь выброса и звона, его время нарастания \( t_r\)=2.2 \(RC\)   (≈0.35 /\( f_{3dB} \)) , время задержки \( t_d\)=0.69 \(RC\) , а время установления с точностью 1%   \(t_s\)=4.6 \(RC\)

6.2.6 Типы фильтров

Предположим, что требуется ФНЧ с плоской АЧХ в полосе пропускания и резким переходом к полосе заграждения. Полная скорость спада при переходе к полосе заграждения всегда равна (6×n) dB/octave , где n - число «полюсов» [* т.е. порядок фильтра ] . На каждый полюс требуется один конденсатор ( или одна индуктивность ) [* каждый реактивный элемент равен +1 к порядку фильтра ] , поэтому окончательный наклон характеристики определяется сложностью фильтра.

Тогда, предположим, что используется фильтр 6-го порядка. Это гарантирует, что на высоких частотах наклон будет 36 dB/octave . Понятно, что можно оптимизировать схему для увеличения гладкости характеристики в полосе пропускания, заплатив за это более медленным переходом к заграждению. Альтернативный путь предполагает допустимость некоторой неравномерности АЧХ в полосе пропускания, но существенное увеличение наклона при переходе. Третий вариант - способность фильтра пропускать сигналы без искажений, вызванных сдвигом фаз. Можно проводить оптимизацию по времени нарастания, величине выброса, времени установления. В общем случае, все указанные характеристики взаимозависимы, и придётся что-то выбирать, т.к. фильтр с резким срезом будет иметь плохие параметры во временной области ( а именно: будут проблемы со звоном и сдвигом фазы ).

Существуют фильтры с конструкцией, оптимизированной для улучшения любого из перечисленных параметров или их сочетаний. Фактически разумный выбор фильтра нельзя проводить так, как это было описано только что. Вместо этого надо начинать с набора требований по неравномерности полосы пропускания, ослабления на некоторой частоте, вне её и прочих интересующих параметров. После этого можно будет подобрать удовлетворяющий требованиям тип фильтра и его сложность ( необходимое число полюсов ) 19 . В нескольких следующих параграфах будут описаны три классические схемы: Баттерворта ( максимально плоская АЧХ в полосе пропускания ), Чебышева ( самый резкий переход от пропускания к заграждению ) и Бесселя ( наиболее плоское распределение времени задержки по частоте ). Каждая схема имеет множество реализаций, некоторые из которых описываются ниже. Все можно использовать в виде фильтра нижних частот, верхних частот, полосового пропускающего и полосового заграждающего 20 .

6.2.6.A Фильтры Баттерворта и Чебышева

Фильтр Баттерворта имеет самую плоскую АЧХ в полосе пропускания, но платит за это скоростью перехода от пропускания к заграждению. Вдобавок имеет посредственные фазовые и переходные параметры. Усиление по амплитуде описывается уравнением \[ \frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{f}{f_c}\right )^{2n}}} \quad, \qquad [6.3] \] где n - порядок фильтра ( число полюсов ). Увеличение числа полюсов делает АЧХ всё более плоской и увеличивает крутизну перехода к заграждению ( рис. 6.20 ).

Рис. 6.20   Нормализованные характеристики ФНЧ Баттерворта. Хорошо видно улучшение подавления по мере роста порядка фильтра

Все характеристики фильтра Баттерворта приносятся в жертву гладкости и плоскости АЧХ в полосе пропускания. График почти совершенно горизонтален в полосе пропускания и начинает изгибаться совсем рядом с частотой среза ( за которую принимается точка «-3dB» ).

В большинстве случаев всё, что на самом деле нужно, просто удержать колебания в полосе пропускания ниже какого-то заданного значения, например, 1 dB . На такие требования ориентирован фильтр Чебышева, который позволяет себе некоторую неравномерность в полосе пропускания, но сильно увеличивает резкость перехода, если сравнивать с «максимально плоским» фильтром Баттерворта. Фильтр Чебышева специфицируется по числу полюсов и уровню пульсаций. Чем выше допустимая неравномерность, тем резче переход к заграждению. Амплитуда выражается соотношением \[ \frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{1}{\sqrt{1+ε^2 C_n^2({f}/{f_c})}} \quad, \qquad [6.4] \] где \( C_n\) - полином Чебышева для заданного порядка фильтра, а ε - константа, задающая уровень пульсаций. Фазовая и переходная характеристика фильтра Чебышева ещё хуже, чем у Бесселя.

На рис. 6.21 даны для сравнения АЧХ фильтров Чебышева и Баттерворта 6-го порядка. Оба несравнимо эффективнее, чем 6-звенная RC цепь.

Рис. 6.21   Сравнение популярных фильтров 6-го порядка. Одни и те же графики изображены в логарифмических и в линейных координатах. Показаны реальные цифры усиления вместо «нормализации уровня 0 dB по верхней границе»

Практика показывает, что фильтр Баттерворта с «максимально плоской» характеристикой может оказаться не столь привлекательным, как представлялось изначально. Некоторая неравномерность будет присутствовать в любом случае. Для «Баттерворта» она выражается в частичном спаде вблизи от \( f_c\) , а для «Чебышева» в обязательном присутствии волн одинаковой амплитуды на всём протяжении полосы пропускания. Кроме того, схема собирается из компонентов, имеющих вполне конкретный допуск номинала, и будет отклоняться от расчётных характеристик. Всё это означает, что в реальном фильтре Баттерворта будут присутствовать какие-то пульсации в полосе пропускания. Воздействие точности номиналов резисторов и конденсаторов на итоговую АЧХ показаны на рис. 6.22 .

Рис. 6.22   Влияние точности компонентов на характеристики фильтра

В свете сказанного фильтр Чебышева оказывается очень рациональной конструкцией. Картина в зоне перехода улучшается за счёт размазывания волны по всей полосе пропускания 21 . Число пиков увеличивается вместе с порядком фильтра. Даже при достаточно малой амплитуде волны ( например, 0.1 dB ) у «Чебышева» гораздо более резкий излом характеристики, чем у «Баттерворта». Чтобы дать представление о цифрах, предположим, что требуется фильтр с неравномерностью 0.1 dB в полосе пропускания и подавление 20 dB на частоте 1.25 от верхней границы полосы пропускания. Расчёты говорят, что потребуется 19-полюсный фильтр Баттерворта, но только 8-полюсный Чебышева.

Идея размена некоторого уровня пульсации в полосе пропускания на большую резкость спуска в зоне перехода, аналогичную фильтру Чебышева, доведена до логического завершения в эллиптических фильтрах ( фильтрах Кауэра ). В них ещё более крутой, чем у «Чебышева», спад в зоне перехода 22 разменивается на пульсации и в полосе пропускания, и в полосе заграждения. Такие фильтры можно использовать, если подходит их особенность - достижение заданного значения подавления и сохранение его на протяжении всей полосы заграждения ( вместо того, чтобы продолжать спад с наклоном (6×n) dB/octave ). В качестве компенсации получаем более простую схему с приличными фазовыми и амплитудными характеристиками, о чём далее. Программные средства разработки превращают расчёт всех фильтров, включая эллиптические, Баттерворта и Чебышева в несложную рутинную работу.

Рис. 6.23   Задание частотных параметров фильтра

На рис. 6.23 показано, как задаётся характеристика фильтра в графической форме. Здесь указывается допустимый коридор для усиления в полосе пропускания ( т.е. неравномерность \( Gmax-Gmin\) ) , минимальная частота, на которой происходит выход из полосы пропускания ( \( f_{cutoff}\) ) , максимальная частота, на которой происходит вход в полосу заграждения, ( \( f_{stop}\) ) и минимальное значение подавления в полосе заграждения ( \( G_{stop}\) ) . На рис. 6.24 сравниваются характеристики фильтров, которые должны удовлетворять указанным требованиям. В данном случае речь идёт о фильтре Чебышева 11-го порядка и эллиптическом 6-го порядка. Чтобы влезть в указанные границы потребовался бы фильтр Баттерворта 32-го порядка! Наименее сложный вариант - эллиптический - имеет самые лучшие фазовые характеристики, но его спад не продолжается монотонно по достижении указанного для заграждения уровня.

Рис. 6.24   Пример задания фильтра нижних частот. Требованиям спецификации удовлетворяет 6-полюсный эллиптический фильтр ( пунктирная линия ). Он имеет пульсации и в полосе пропускания, и в полосе заграждения. Под те же требования подходит уже 11-полюсный фильтр Чебышева ( сплошная линия ), но у него пульсации только в полосе пропускания, или 32-полюсный Баттерворта – «максимально плоский» без пульсаций в полосах пропускания и заграждения

6.2.6.B Фильтр Бесселя

Ранее уже говорилось, что АЧХ фильтра - это ещё не всё. Фильтр с плоской характеристикой может иметь резкое изменение фазы, которое приведёт к различным временам задержки для сигналов, попадающих в полосу пропускания. В результате форма сигнала, проходящего через фильтр, будет искажаться. [*] . Если важна целостность формы сигнала, понадобится линейно-фазовый фильтр ( он же «с постоянным временем задержки» ). Схема, чей сдвиг фазы линейно зависит от частоты, соответствует постоянному времени прохождения частотных компонентов сигнала, попадающих в полосу пропускания, т.е. форма сигнала не искажается. Наиболее равномерное распределение времени задержки по частоте имеет фильтр Бесселя ( иногда называемый «фильтром Томсона» ) 23 . Это его свойство чем-то похоже на плоскую амплитудную характеристику фильтра Баттерворта.

[*]
[* Механизм аналогичен технике спектрального анализа в химии ( газовой хроматографии ), когда раствор вещества или смесь газов проходит через узкий канал, причём различные компоненты раствора ( в нашем случае частотные составляющие ) проходят его с разной скоростью и появляются на выходе в разное время, позволяя выяснить состав исходной смеси. Так же действует стеклянная призма на пути луча света.

Возьмём, к примеру, фильтр Орчада-Шихана §6.2.2 . В сноске #2 про него сказано, что «...фазовая характеристика в полосе пропускания: 495° запаздывания на частоте 16.5 kHz . Нелинейность увеличивается ( правильнее было бы говорить «закручивается» ) до 1270° на 19.5 kHz . К счастью, фаза мало виляет на восприятие звука». Т.е. имеем ситуацию, при которой сигнал с частотой 16 kHz проходит на выход за 1.3 цикла ( 490/360 ), а 20 kHz за 4 цикла ( 1270/360 ) своих частот и надеемся, что «мало повлияет». Но я не о том. Низкочастотный сигнал быстрее ( в периодах своей частоты ) проходит на выход, чем высокочастотный. На входе схемы они были одновременно, а на выход один добирается за 1.3 своих цикла, а другой и вовсе за 4. Второй уже пятницу ( на входе схемы ) отмечает ( а у первого только вторник ), когда на выход, наконец, данные по понедельнику добрались. ]

Рис. 6.25     (A) Сдвиг фазы в зависимости от частоты для трёх типов фильтров, каждый из которых настроен на частоту среза 1 kHz ( вертикальная линия ). (B) Зависимость времени задержки от частоты для того же набора. Отметим изменение единиц вертикальной оси и линейный масштаб изображений

Чтобы понять, какие улучшения во временной области несёт с собой фильтр Бесселя, можно глянуть на рис. 6.25 , где сравнивается зависимость сдвига фаз и времени задержки от частоты для трёх вариантов: Бесселя, Баттерворта и Чебышева. Два последних - классические фильтры с резкими изломами характеристик. Плохие параметры по времени задержки у Баттерворта, а ещё того хуже у Чебышева, приводят к появлению искажений формы сигналов и выбросам для импульсных сигналов, см. рис. 6.26 . [*] С другой стороны, за постоянство формы в фильтре Бесселя приходится платить более плавным переходом к полосе заграждения, чем у «Баттерворта», а уж тем более «Чебышева». Причём, важно отметить, что увеличение числа последовательных секций в фильтре Бесселя ( т.е. увеличение его порядка ) практически не сказывается на резкости излома переходной характеристики. Зато оно улучшает линейность фазы ( постоянство времени задержки ) и увеличивает, конечно, итоговый наклон в зоне перехода в соответствии с асимптотическим пределом (6×n) dB/octave ( см. рис. 6.30 ).

[*]
[* В импульсных сигналах с крутыми фронтами очень много гармоник, и есть чему расслаиваться по времени. Вообще из изложенного читателю должно быть понятно, что чем острее и чётче излом на переходе к полосе заграждения ( чем «лучше», «идеальнее» фильтр в частотной области ), тем хуже будут параметры во временной области - выбросы на фронтах и т.п. «В пределе» для кусочно-линейной характеристики ( для сочленения двух прямых отрезков ) выброс на фронте сигнала ( производная ) будет бесконечен ( угол наклона графика производной 90° ). Короче, пора уже выбрать: вам излом или таки линейность? [* См. §A.4* ] ]

Рис. 6.26   Реакция на перепад 1V в момент t=0 для трёх фильтров с предыдущих рисунков

Имеется достаточно попыток улучшения АЧХ и времени нарастания фильтра Бесселя за счёт некоторого ухудшения времени задержки. Фильтр Гаусса имеет почти такие же хорошие фазовые параметры, как Бессель, и чуть лучшую реакцию на перепад. Есть другой класс фильтров, которые позволяют иметь одинаковую «амплитуду пульсаций» у времени задержки в полосе пропускания ( по аналогии с пульсациями настоящей амплитуды у «Чебышева» ) и обеспечивают постоянное время задержки даже для сигналов далеко уходящих в полосу заграждения. [*] Такие схемы иногда называют «линейно-фазовые» фильтры. Их параметры задают через пульсацию фазы ( например, 0.5° ) в полосе пропускания. Ещё одним решением проблем с общим временем задержки являются всепропускающие фильтры, также известные в качестве корректоров задержки . У них постоянное усиление по частоте, а сдвиг фазы можно настраивать в соответствии с конкретными требованиями, исправляя времена задержки любого фильтра, включая «Баттерворта» и «Чебышева».

[*]
[* Почему это важно? Дело в том, что даже низкочастотный сигнал имеет в своём спектре бесконечное число гармоник ( ряд Фурье ), в т.ч. и очень высокочастотных ( а если фронты резкие, то и уровень ВЧ-гармоник будет достаточно заметным ). Линейная фазовая характеристика позволяет всему набору гармоник идти вместе. Для оптических лучей, прошедших через стеклянный объектив данное явление будет выглядеть как отсутствие радужной каймы по границам света-тени изображения. Видели такие стёкла? И я не видел ].

6.2.6.C Сравнение фильтров

Несмотря на недостатки частотных параметров фильтра Бесселя, его временные характеристики далеко превосходят таковые у «Баттерворта» и «Чебышева». «Чебышев», имея весьма привлекательные амплитудные параметры, показывает самые плохие из трёх участников результаты во временной области. «Баттерворт» занимает промежуточные позиции и во временной, и в частотной области. Табл. 6.1 на стр. 405 , а также рис. 6.26 и 6.27 дают более целостную картину о поведении во временной области и дополняют частотные графики, представленные ранее. Очевидно, что, если основное внимание направлено во временную область, лучшим выбором будет «Бессель».

Рис. 6.27   Сравнение реакции на скачок для 8-полюсных ФНЧ с частотой среза 1 Hz

Table 6.1 Time-domain Performance Comparison for Lowpass Filtersa

Notes: (a) a design procedure for these filters is presented in the section “VCVS circuits.”

6.2.7 Реализация фильтров

В следующей главе рассказывается, как строить схемы фильтров с использованием резисторов, конденсаторов и ОУ. Все такие схемы называются активными фильтрами и не требуют катушек индуктивности. Это хорошо, потому что физические индуктивности громоздки, несовершенны и недёшевы.

В то же время на частотах выше 100 kHz часто бывает удобнее использовать пассивные фильтры, вроде спектральных ФНЧ, показанных на рис. 6.9 . Есть два пути: строить что-то своё или покупать готовое. Чтобы собирать своё, следует залезть в какую-либо из множества расчётных таблиц ( примеры расчётов можно найти в Приложении _E ) или запустить специальную программу ( см. §6.3.8 ), чтобы найти величины L и C для интересующей схемы. Если речь идёт о паре устройств, можно использовать настраиваемую катушку с сердечником ( подобрав номинал с помощью измерительного моста или RLC-метра ) и 1% конденсаторы, чтобы получить нужную точность.

Или можно просто залить проблему деньгами: есть десятки фирм, выпускающих стандартные и заказные фильтры. Они будут рады оказать помощь. На низкочастотном конце спектра ( скажем, ниже 100 MHz ) схемы собираются на обычных отдельных компонентах L и C, а на высокочастотном их выполняют по коаксиальным и микрополосковым технологиям. Если требуется что-либо из стандартного модельного ряда ( например, из каталога Mini-Circuits Labs ), то стоит оно недорого и поставляется со склада. В противном случае, придётся заплатить приличную сумму и подождать, пока отыщут или сделают. Вот фирмы, чью продукцию используют авторы: Lark Engineering, Mini-Circuits Laboratories, Trilithic ( Cir-Q-Tel ) и TTE.

17 Иногда \( t_d\) определяется для уровня 10% ( а не 50% ) от итогового выходного уровня. <-

18 Термин пришёл из анализа распространения волн в рассеивающих средах, где надо различать фазовую скорость и групповую скорость. Последняя относится к скорости, с которой группа частот совместно определяет параметры волнового фронта, распространяющегося в среде. Групповая задержка - аналогичная величина, обозначаемая \( T_g\) для сигнала, проходящего через фильтр. Связь между групповой задержкой и сдвигом фазы выражается уравнением \( T_g=-dφ/dω=-\frac{1}{2π}\frac{dφ}{df}\) . <-

19 Раньше разработчик брал толстый справочник по фильтрам, забитый таблицами и графиками, а теперь всё стало значительно проще: есть хорошие программы, помогающие выбрать тип фильтра и рассчитать все необходимые цифры. Linear Technology и Texas Instruments предлагают свободные программы на своих сайтах ( FilterCAD™ и FilterPro™ соответственно ). Есть также документация от LTC: ##AN38 и ##DN245. <-

20 Кроме того, фильтры используют для эквализации ( подгона АЧХ/ФЧХ под заданный профиль ). В такой задаче понадобится ещё и фазовый эквалайзер ( или корректор задержки ). Он позволяет менять фазу, имея при этом плоскую АЧХ, и называется всепропускающим фильтром. <-

21 Их иногда называют фильтрами с постоянными пульсациями . <-

22 Или меньший порядок при заданном наклоне в зоне перехода. <-

23 Фридрих Бессель ( 1784-1846 ) - немецкий математик, который не был практикующим схемотехником, но создал математическую основу для построения фильтров. Обозначение «Бесселя-Томсона» отражает факт реализации фильтра: Thomson, W. E., “Delay Networks having Maximally Elat Frequency Characteristics,” Proceedings of the Institution of Electrical Engineers, Part III, 96 44, pp. 487-490 ( 1949 ). <-

Previous part:

Next part: