Шапка

6.3 Схемы фильтров

==406

Масса труда и таланта была потрачена на создание схем активных фильтров, каждая из которых используется для реализации того или иного типа фильтров. Может возникнуть вопрос, зачем нужно более одной реализации, скажем, фильтра Бесселя? Причина в том, что конкретная схема может вытянуть только один из требуемых параметров, универсального решения, закрывающего все вопросы нет.

Активные фильтры можно собирать на дискретных компонентах с ОУ в качестве активного элемента 24 . В этом случае придётся подобрать резисторы и конденсаторы, которые и зададут нужные параметры. Чем точнее задаются требования по частоте, тем жёстче должен быть допуск пассивных компонентов и стабильнее их параметры. Привлекательной альтернативой могут служить специализированные ИМС активных фильтров, большая часть соединений в которых уже сделана внутри корпуса, и часто уже имеются некоторые согласованные пассивные компоненты.

Есть два базовых класса активных фильтров: «фильтры непрерывного времени» и фильтры «на переключаемом конденсаторе» [* т.е. «дискретного времени»] . Фильтры непрерывного времени - аналоговые устройства, собранные на ОУ, резисторах и конденсаторах. Параметры фильтра устанавливаются номиналами компонентов и их межсоединениями. Фильтры на переключаемом конденсаторе используют конденсаторы и МОП ключи, замыкаемые и размыкаемые синхронно с внешним тактовым сигналом, и замещают ими входные резисторы в схеме классического интегратора. Номинал «резистора» устанавливается частотой тактирования. Типичный фильтр на переключаемых конденсаторах использует несколько таких интеграторов в связке с дополнительными ОУ, чтобы реализовать заданную функцию 25 . Преимуществом фильтров на переключаемом конденсаторе является перестройка параметров в широком диапазоне за счёт простого изменения частоты тактирования, стабильность параметров и относительно несложная реализация в интегральном исполнении. Но такие фильтры больше шумят ( т.е. их динамический диапазон уже ), имеют больший уровень искажений и могут вносить в сигнал артефакты, свойственные переключаемым схемам: появление фантомных сигналов и проникание тактовой частоты в аналоговый тракт.

==407

Обычно от активных фильтров хотят:

  1. небольшого числа компонентов как активных, так и пассивных;
  2. простоты настройки;
  3. малого числа номиналов, особенно для конденсаторов;
  4. отсутствия чрезмерных требований к операционным усилителям ( к скорости нарастания, полосе пропускания и выходному импедансу );
  5. способности создавать высокодобротные фильтры;
  6. электронную перестройку;
  7. нечувствительность параметров к величинам компонентов и усилению ОУ ( особенно к произведению усиления на полосу [* GBW ] или \( f_T \) ) .

В большинстве случаев последнее свойство самое важное. Схема, требующая точных компонентов, сложна в настройке, и её параметры будут плыть по мере старения компонентов. Наибольшую популярность получила конфигурация VCVS за простоту и небольшое число деталей, но она как раз чувствительна к их допуску. В последнее время интерес смещается к более сложным схемам, которые спокойнее относятся к некоторому разбросу номиналов.

В этой главе представляются несколько схем для ФНЧ, ФВЧ и полосовых фильтров. Знакомство начнётся с популярных VCVS, затем последуют фильтры с изменяемыми параметрами, выпускаемыми в виде законченных ИМС несколькими фирмами, и в конце будет рассмотрен фильтр-пробка «двойной-Т» конфигурации.

Большая часть современных микросхем активных фильтров относятся к схемам с переключаемым конденсатором, т.к. такой вариант архитектуры прост в использовании, компактен, дёшев, имеет отменную стабильность и ( иногда ) совсем не нуждается во внешних компонентах. Эти микросхемы будут рассмотрены в конце данной части.

6.3.1 VCVS схемы

Источники напряжения, управляемые напряжением ( VCVS ) или фильтры с контролируемым источником , были изобретены Салленом и Ки ( в книге они появились в §6.2.4.E [* на самом деле в §4.3.6 ] ). Это вариант простого устройства с единичным усилением, показанного ранее на рис. 6.16 . В VCVS повторитель заменяется неинвертирующим каскадом с отличным от единицы усилением. На рис. 6.28 показаны варианты для ФНЧ, ФВЧ и полосового фильтра. Резисторы на выходе ОУ служат для задания усиления K , а остальные элементы отвечают за АЧХ схемы. На рисунке изображены 2-полюсные фильтры, которые могут быть и фильтрами Баттерворта, и Бесселя, и др. Тип зависит только от номиналов компонентов, что будет показано далее. Для получения фильтров более высокого порядка можно каскадировать любое число 2-полюсных секций VCVS, причём все секции общего набора будут различаться между собой. Каждая получит собственный квадратичный коэффициент полинома n-ного порядка, описывающего требуемый фильтр.

Рис. 6.28 Активные фильтры архитектуры VCVS

В большинстве специализированных справочников есть уравнения и таблицы коэффициентов для всех стандартных типов и отдельный набор таблиц для каждого значения неравномерности в фильтре Чебышева. В следующем параграфе имеется удобная таблица коэффициентов VCVS для фильтров Баттерворта, Бесселя и Чебышева ( для последнего с пульсациями 0.5 dB и 2 dB в полосе пропускания ), пригодная для построения ФНЧ и ФВЧ. Полосовые пропускающие и заграждающие фильтры комбинируются из двух указанных.

6.3.2 Разработка VCVS фильтров по упрощённой таблице

Для начала надо понять, что именно предполагается получить в итоге. Как говорилось ранее, «Баттерворт» следует рассматривать, если требуется максимально плоская АЧХ в рабочей полосе, «Чебышев» даёт самый резкий переход к заграждению ( ценой увеличения пульсаций в полосе пропускания ), а «Бессель» имеет наилучшие фазовые характеристики, т.е. постоянное время задержки в полосе пропускания и, соответственно, хорошую реакцию на перепад. Частотные характеристики для каждого типа приводятся на рис. 6.30 .

==408

Чтобы собрать n-полюсный фильтр ( для чётного n ) требуется соединить последовательно n/2 VCVS секций. В каждой секции \(R_1=R_2=R\) и \( C_1=C_2=C\) . Для схем на типовых ОУ \(R\) выбирается из диапазона от 10 kΩ до 100 kΩ . Низкоомных номиналов следует избегать, т.к. выходной импеданс ОУ без обратной связи на высоких частотах растёт, и его придётся учитывать в вычислениях. А дальше нужно только задать коэффициенты усиления K каждого каскада в соответствии с данными таблицы. Для фильтра порядка n есть n/2 значений, каждое - для отдельной секции.

Table 6.2 VCVS Lowpass Filters

6.3.2.A Фильтры нижних частот Баттерворта

Для фильтра Баттерворта резисторы и конденсаторы всех секций имеют одинаковые номиналы и должны соответствовать соотношению \(RC=q/( 2πf_c ) \) , где \( f_c\) требуемая частота «-3dB» фильтра. Скажем, чтобы сделать фильтр 6-го порядка, надо включить последовательно три VCVS секции с усилениями 1.07, 1.59, 2.48 и одинаковыми величинами \(R\) и \( C \) для требуемой частоты «-3dB». Желательно выставлять коэффициенты усиления именно в указанном порядке, чтобы избежать проблем с динамическим диапазоном [* в цифровых фильтрах речь бы шла о проблемах с переполнением разрядной сетки при математических операциях] .

6.3.2.B Фильтры нижних частот Бесселя и Чебышева

Для фильтров Бесселя и Чебышева процесс чуть более замысловатый. Здесь тоже используются секции 2-го порядка со своим усилением в каждой секции. Внутри секции \(R_1=R_2=R\) и \( C_1=C_2=C\) , но, в отличие от «Баттерворта», каждая секция «Бесселя» и «Чебышева» имеет своё произведение \(RC\) , которое должно масштабироваться с коэффициентом \( c_n\) из табл. 6.2 по формуле \(RC=1/( 2πc_nf_c ) \) , где \( f_c\) для «Бесселя» - точка «-3dB», а для «Чебышева» - конец полосы пропускания, т.е. место, где АЧХ выходит из допустимого коридора неравномерности в полосе пропускания и начинает движение к полосе заграждения. Например, для «Чебышева» с неравномерностью 0.5 dB и \( f_c\)=100 Hz пульсации будут иметь величину от +0 до –0.5 dB , а дальше по частоте уровень ослабления начнёт резко расти. В таблице есть цифры для «Чебышева» с неравномерностью 0.5 и 2.0 dB . У последнего переход к заграждению чуть резче ( рис. 6.30 ).

Рис. 6.30 Нормализированные АЧХ для фильтров 2-, 4-, 6- и 8-го порядков по данным из табл. 6.2 . Фильтры Баттерворта и Бесселя нормированы по уровню «-3dB» на единичной частоте, а «Чебышев» - по уровню подавления 0.5 и 2.0 dB . Как и раньше, верхняя граница пульсаций в полосе пропускания принята за единицу

Пример

В качестве иллюстрации на рис. 6.29 показан VCVS фильтр 4-го порядка с \( f_c\)=100 Hz . В таблице перечислены номиналы резисторов для трёх типов фильтров, рассчитанные по приведённой методике. Аналогичный фильтр Баттерворта 6-го порядка с \( f_c\)=90 Hz использовался для создания синусоидального напряжения из прямоугольного сигнала, полученного от кварцевого генератора. Выходное синусоидальное напряжение шло на привод телескопа 26 .

Рис. 6.29 Пример VCVS фильтра. Для резисторов выбрано ближайшее стандартное значения из 1%-набора номиналов «E96»

6.3.2.C Фильтры высоких частот

Для фильтров высоких частот надо собирать VCVS схему в конфигурации ФВЧ, т.е. поменять местами резисторы и конденсаторы. Для «Баттерворта» схема расчёта не меняется ( то же значение K , так же считаются величины \(R\) и \( C \) ) . Для «Бесселя» и «Чебышева» K не меняется, а нормирующий множитель \( c_n\) должен использоваться в виде обратной величины, т.е. «новое значение \( c_n\)» равно ( 1/«табличное \( c_n\)» ).

==409

Полосовые пропускающие фильтры строятся каскадированием ФНЧ и ФВЧ с перекрывающимися рабочими полосами, а полосовые заграждающие из фильтров с неперекрывающимися полосами. Но такие составные фильтры не могут иметь высокую добротность ( очень острую характеристику в полосе пропускания ), т.к. весьма чувствительны к номиналам компонентов каждой исходной секции. Для высокодобротных фильтров надо использовать специальную VCVS схему, показанную ранее, или описываемые в следующей главе биквадратные и фильтры с изменяемыми параметрами. Такие схемы даже в 2-полюсном варианте способны формировать АЧХ с очень острым пиком. Дополнительные подробности по теме можно найти в стандартных источниках.

6.3.2.D Обобщение фильтров Саллена-Ки

Упрощение конструкции фильтров по схеме Саллена-Ки ( или VCVS ) происходит за счёт использования в каждой секции одинаковых номиналов резисторов и конденсаторов, но это упрощение уравновешивается различными и неудобными коэффициентами усиления каскадов ( колонка «Gain» на рис. 6.29 ).

Часто требуется прямо задать коэффициент усиления, чтобы предотвратить насыщение, или, наоборот, изменить параметры фильтра, не трогая усиление. Ужесточая требования к усилению, надо ослаблять ограничения по номиналам R и C. С подробностями по данной теме можно ознакомиться в парочке хороших заметок по применению от Джеймса Карки ( James Karki ) из TI 27 . Подытоживая, можно сказать, что можно создать фильтр с любыми характеристиками, используя каскады с заданным усилением, если есть возможность свободного выбора номиналов пассивных компонентов.

==410

Согласно алгоритму Карки, можно записать общие формулы для частоты среза \( f_c\) и добротности Q 2-полюсной секции Саллена-Ки, в которой отношения компонентов будут иметь любое значение. Следуя обозначениям 28 на рис. 6.28A определим параметры m , n и \(τ\) так, чтобы результат смотрелся симпатичнее: \[ \begin{align} m &= R_1/R_2, \\ n &= C_1/C_2, \\ τ &= R_2C_2 \end{align} \]

Частота среза 2-полюсного фильтра примет форму \[ f_c=\frac{1}{2πτ\sqrt{mn}} \quad, \qquad \qquad \qquad [6.5] \] а добротность Q \[ Q=\frac{\sqrt{mn}}{1+m+mn(1-K)} \quad. \qquad [6.6] \]

Этих формул недостаточно для создания фильтров более высоких порядков стандартных типов ( Чебышева и т.п. ). Дополнительно требуются таблицы из работы Карки ( ##SLOA049B ) или программа расчёта фильтров. Но данные формулы показывают метод, которым можно разменивать один параметр на другой. Отметим, что единичный коэффициент усиления K=1 имеет то дополнительное преимущество, что активными элементами схемы могут служить микросхемы мощных буферов или повторители на отдельных транзисторах 29 .

Если возвратиться к прежним ограничениям для VCVS ( \(R_1=R_2=R\) и \( C_1=C_2=C\) ) , формулы сократятся до \[ f_c=\frac{1}{2πRC}, \quad Q=\frac{1}{3-K}, \qquad [6.7] \] причём при K=3 конструкция становится неустойчивой ( Q\(\to ∞\) ) . Отметим также, что при K=1 ( как на рис. 6.16 , где произошло знакомство с активными фильтрами ) схема становится совсем анемичной ( Q=0.5 ) .

6.3.2.E VCVS: итоги

VCVS минимизируют число элементов схемы ( по два полюса на ОУ ) и имеют дополнительные преимущества в виде дополнительного усиления без инверсии и лёгкой подстройки, низкого выходного импеданса, небольшого разброса номиналов компонентов и возможности выбора между большим усилением или высокой добротностью. Недостатки включают чувствительность к номиналам пассивных компонентов и параметрам ОУ и плохо подходят к задачам, требующим подстройки фильтра или высокой стабильности характеристик. Кроме того, рабочая полоса ОУ ( \( f_T \) или GBW ) должна быть много больше, чем \( f_c\) фильтра 30 . Некоторые из этих недостатков исправляют фильтры с управляемыми параметрами и биквадратные.

Упражнение 6.3
Разработайте VCVS фильтр Чебышева 6-го порядка с пульсациями 0.5 dB и частотой среза \( f_c\)=100 Hz . Какое подавление будет у фильтра на частоте 1.5\( f_c?\)

6.3.3 Фильтры с изменяемыми параметрами

Фильтр 2-го порядка, показанный на рис. 6.31 , гораздо сложнее, чем VCVS, но, несмотря на это, очень популярен из-за улучшенной стабильности и простоты подстройки. Его называют «фильтром с изменяемыми параметрами». Изначально он выпускался фирмой National в интегральном исполнении ( AF100 и AF150 ), но сейчас эти ИМС не производятся. Аналогичные микросхемы выпускает Burr-Brown/TI (UAF42 ) и Maxim ( MAX274, MAX275 ). Интегральный модуль включает все элементы схемы, кроме \(R_G\) , \(R_Q\) и двух \(R_F\) . ИМС имеют отличные параметры и позволяют строить ФНЧ, ФВЧ и полосовые фильтры. В режиме полосового фильтра можно подстраивать частоту, не изменяя добротность или не изменяя ширину полосы. Как и VCVS фильтры с изменяемыми параметрами можно каскадировать для повышения их порядка. Частоту можно менять, если использовать для \(R_F\) сдвоенный переменный резистор, но, возможно, при заданной характеристике настройки ( 1/\(R\) ) будет удобнее применять последовательную схему ( рис. 6.34 ), при которой можно использовать и сдвоенный потенциометр, и умножающий ЦАП ( см. §6.3.3.C )

Рис. 6.31 Фильтр с управляемыми параметрами

Для указанных микросхем производители предлагают массу таблиц и формул, сообщают, как надо выбирать номиналы резисторов, чтобы получить фильтры Бесселя, Баттерворта или Чебышева любого порядка ( из некоторого набора ) и с любой характеристикой (ФНЧ, ФВЧ или полосовой ). Кроме полезных советов, производители включают в состав микросхем конденсаторы 31 , поэтому всё, что требуется для работы - внешние резисторы.

==411

6.3.3.A Полосовой пропускающий фильтр

Фильтры с управляемыми параметрами с учётом их большого числа компонентов являются хорошим выбором для построения узкополосных ( высокодобротных ) полосовых фильтров. Такая архитектура имеет слабую чувствительность к компонентам, не предъявляет высоких требований к полосе ОУ и легко настраивается. Например, на схеме 6.31 изображён полосовой фильтр. Два резистора \(R_F\) выставляют центральную частоту, а \(R_Q\) и \(R_G\) вместе определяют добротность и усиление на центральной частоте \[ \begin{align} R_E &= \frac{5.03 ×10^7}{f_0} \qquad &Ω, \qquad &[6.8]\\ R_Q &= \frac{10\space^5}{3.48Q + G — 1} \qquad &Ω, \qquad &[6.9]\\ R_G &= \frac{3.16Q ×10\space^4}{G} \qquad &Ω. \qquad &[6.10] \end{align} \]

Таким образом, можно сделать фильтр с фиксированной добротностью и переменной частотой, используя сдвоенный переменный резистор \(R_F\) . Или можно менять резистором \(R_Q\) добротность и, к сожалению, усиление, сохраняя неизменной частоту.

Упражнение 6.4
Рассчитайте величины резисторов для схемы 6.31 , чтобы получить полосовой фильтр с центральной частотой \( f_0\)=1 kHz , добротностью Q=50 и усилением G=10 .

На рис. 6.32 показана удобная версия полосового фильтра. К сожалению, она требует четырёх ОУ, зато позволяет подстраивать ширину полосы ( т.е. добротность ) независимо от уровня усиления на центральной частоте. Оба параметра выставляются индивидуальными одиночными резисторами. Добротность, усиление и центральная частота становятся совершенно независимыми и рассчитываются по следующим уравнениям \[ \begin{align} f_0 &= \frac{1}{2πR_FC} , &[6.11] \\ Q &= \frac{R_1}{R_Q} , &[6.12] \\ G &= \frac{R_1}{R_G} , &[6.13] \\ R &≈ 10 kΩ . &[6.14] \end{align} \]

Рис. 6.32 Фильтр с независимой установкой усиления и добротности. Примечание. \(R\) - два согласованных резистора

Биквадратный фильтр.

Очень похож на фильтр с управляемыми параметрами биквадратный фильтр ( рис. 6.33 ). Схема также состоит из трёх ОУ и может быть пересобрана из фильтра с управляемыми параметрами. У неё есть интересная особенность: частоту настройки можно менять ( резистором \(R_F\) ) , не изменяя при этом ширину полосы ( вместо неизменной добротности ). Вот расчётные уравнения \[ \begin{align} f_0 &= \frac{1}{2πR_FC}, &[6.15] \\ BW &= \frac{1}{2πR_BC}, &[6.16] \\ G &= \frac{R_B}{R_G}. &[6.17] \\ \end{align} \]

Добротность получается из соотношения \(Q=f_0/BW\) и равна отношению \(R_B/R_F\) . Если центральная полоса изменяется, пропорционально изменяется и добротность, оставляя неизменным отношение \( f_0/Q\) .

Рис. 6.33 Биквадратный фильтр

==412

При построении биквадратного фильтра с чистого листа ( вместо использования специализированных ИМС), алгоритм должен быть следующий.

  1. [* Задать усиление на центральной частоте G и ] Выбрать ОУ, чья рабочая полоса \( f_T \) как минимум в 10...20 раз превышает произведение \( f_0\) .
  2. Выбрать удобный номинал конденсатора неподалёку от значения \( C \)=10/\( f_0\) μF , где \( f_0\) выражена в Hz .
  3. Взять нужную центральную частоту и рассчитать \(R_F\) по уравнению [6.15] .
  4. Подставить нужную ширину полосы в уравнение [6.16] и вычислить \(R_B\) .
  5. По усилению на центральной частоте G и уравнению [6.17] рассчитать \(R_G\).

Возможно, придётся скорректировать номиналы конденсаторов, если величины резисторов получаются слишком большими или слишком маленькими. Например, в высокодобротных фильтрах может потребоваться несколько увеличить \( C \) , чтобы удержать рост \(R_B\) в разумных пределах ( или можно использовать «T-цепь», описанную в §4.5.5 ). Отметим, что \(R_F\) , \(R_B\) и \(R_G\) видны со стороны ОУ как нагрузка, и нижнюю границу их номиналов не следует опускать ниже 5 kΩ . Не исключено, что при варьировании номиналов компонентов будет проще удовлетворить условию [1] , уменьшая усиление интегратора ( увеличивая \(R_F\) ) и одновременно увеличивая усиление инвертирующего каскада ( увеличивая резистор обратной связи \(R\) с исходным номиналом согласно уравнению [6.14] 10 kΩ ) .

Предположим, что надо собрать фильтр с характеристиками из упражнения 6.4 ( стр. 411 ). Начинаем с выбора примерного значения \( C \)=0.01 μF . Затем рассчитываем \(R_F\)=15.9 kΩ ( \( f_0\)=1 kHz ) и \(R_B\)=796 kΩ ( Q=50 , BW=20 Hz ). Наконец, \(R_G\)=79.6 kΩ ( G=10 ).

Упражнение 6.5
Разработать биквадратный полосовой фильтр с \( f_0\)=60 Hz , BW=1 Hz и G=100 .

6.3.3.B Полосовые пропускающие фильтры высоких порядков

Как и в случае ФНЧ и ФВЧ, можно создавать полосовые фильтры более высоких порядков с почти плоской АЧХ в полосе пропускания и резким переходом к заграждению.

Делается это уже знакомым каскадированием полосовых фильтров низкого порядка в сочетании с должным выбором номиналов для получения характеристики нужного типа ( Баттерворта, Чебышева или что там ещё? ). Как обычно, «Баттерворт» плоский, «Чебышев» резкий, но неровный. Рассмотренные выше VCVS и биквадратные полосовые фильтры имеют 2-ой порядок ( два полюса ). Увеличение порядка за счёт дополнительных секций ведёт к «заострению» АЧХ и ухудшению переходных и фазовых параметров. «Рабочая полоса» такого фильтра определяется как ширина частотного диапазона, ограниченного точками «-3dB». Для фильтров с постоянными пульсациями полоса определяется по точкам, в которых АЧХ выходит из заданного коридора пульсаций.

Таблицы и алгоритмы проектирования сложных фильтров можно найти в справочниках по активным фильтрам или в сопроводительной документации на специализированные ИМС. Есть очень хорошие программы расчёта фильтров, в том числе свободные версии для PC.

6.3.3.C Электронное управление

Встречаются ситуации, когда требуется возможность подстройки ( или переключения ) параметров фильтра внешним сигналом, а не вращением ручки потенциометра. Примером может служить спектральный фильтр на входе АЦП, если частота выборки \( f_{samp} \) последнего должна меняться в некоторых пределах. В данной схеме частота среза фильтра \( f_c\) должна устанавливаться в соответствии с критерием Найквиста \( f_c≈ f_{samp}\)/2 ( см. §6.2.3.C , §6.3.7.A и §13.5.1.B ). В активных фильтрах с архитектурой VCVS это можно делать в некоторых пределах с помощью аналоговых ключей, которыми можно коммутировать набор резисторов, определяющих характеристики. Но фильтры с управляемыми параметрами дают несколько более удобных способов как переключения, так и плавного изменения характеристик.

Цифровой потенциометр
Удобные микросхемы ( ##§3.4.3.E ), состоящие из длинной цепочки резисторов и набора МОП ключей с цифровым выбором нужного отвода 32 дают возможность изменения номинала задающего режим резистора, например, \(R_F\) в схеме 6.31 , если добавить перед ним такой цифровой делитель ( и, возможно, буфер, если номинал окажется слишком мал), см. рис. 6.34 . Сдвоенный цифровой потенциометр 33 позволит подстраивать одновременно пару \(R_F\) , если потребуется подкрутить центральную частоту \( f_0\) в полосовом фильтре. Цифровые потенциометры могут иметь до 1024 ступеней, выпускаются как с линейной, так и с логарифмической характеристикой, и позволяют организовать достаточно удобное управление. Такие потенциометры не слишком точны по абсолютному значению ( обычно ±20% ), но гарантируют точное и стабильное отношение делителя ( 1% или лучше ), т.е. резисторы в цепочке хорошо согласованы. Поэтому в подобных схемах, где важны соотношения величин, цифровые потенциометры работают вполне успешно.

Рис. 6.34 Настройка частоты фильтра с управляемыми параметрами. Буфер на ОУ можно исключить, если строгая линейность по углу поворота потенциометра не нужна

==413

Умножающие ЦАПы
Ещё одним способом изменения \(R_F\) в фильтрах с управляемыми параметрами является масштабирование выходных напряжений ОУ с помощью умножающего ЦАПа ( цифро-аналогового преобразователя ), вместо управляемого делителя. На выходе умножающего ЦАПа создаётся напряжение ( или ток ), пропорциональный произведению аналогового входного напряжения и цифрового кода. По сравнению с цифровыми потенциометрами ЦАП обеспечивает более высокое разрешение ( меньше шаг изменения ), он быстрее и часто имеет больший рабочий диапазон напряжений.
Аналоговые ключи
Если требуется только несколько режимов, можно использовать полупроводниковые аналоговые переключатели и набор отобранных резисторов. В таком варианте придётся учитывать наличие вполне конкретного сопротивления канала \(R_{ON}\) .
Интегрированные переключатели
Есть несколько микросхем активных фильтров, в которых возможность изменения частоты среза предусмотрена изначально, и у кристалла есть выводы цифрового управления. Обеспечить непрерывное изменение параметра не получится, но можно сильно сэкономить на трудозатратах и компонентах. В качестве примеров можно назвать эллиптический ФНЧ 8-го порядка LTC1564, позволяющий выбрать частоту среза от 10 до 150 kHz с шагом 10 kHz , и MAX270 - 2-полюсный ФНЧ, который даёт 128 градаций частоты среза в диапазоне от 1 до 25 kHz .
Варианты с электронной настройкой: DSP и фильтры на переключаемом конденсаторе
Предыдущие способы предполагали использование электронного управления фильтрами непрерывного времени с помощью тех или иных заменителей переменных резисторов. Но, говоря об электронном управлении нельзя не упомянуть фильтры на переключаемом конденсаторе и цифровой обработке сигналов ( DSP ), в которых такое управление обеспечивается конструктивно. И те, и другие обсуждаются позднее в §6.3.6 и §6.3.7 .

6.3.3.D Активные фильтры с множественными обратными связями

В дополнение к VCVS ( Саллена-Ки ), биквадратным и фильтрам с управляемыми параметрами имеется ещё одна часто используемая архитектура. Её называют схемой «с множественными обратными связями» ( MFB ) или «с бесконечным усилением и множественными обратными связями» ( рис. 6.35 ). Здесь ОУ включён по схеме интегратора [* он отвечает за «бесконечное усиление», см. §4.2.6 ] , а не усилителя напряжения или повторителя. Рассчёт MFB фильтров так же несложен, как VCVS, и в сети полно отличных программ, помогающих в этом деле. Можно порекомендовать отличный сайт Уве Байса (Uwe Beis ) ( см. §6.3.8 ). MBF фильтры выпускаются в интегральном исполнении, например, LTC1563 - недорогая ( $2.30 ) микросхема аналогового фильтра с архитектурой MFB, удобная для создания спектральных фильтров и т.п. LTC1563-2 позволяет построить фильтр Баттерворта 4- или 5-го порядка, с частотой среза от 256 Hz до 360 kHz , а версия LTC1563-3 - фильтр Бесселя. Внутри стоят конденсаторы 27 pF и 54 pF , подстроенные с точностью 3% , что позволяет использовать внешние 1% резисторы из диапазона 7 kΩ...10 MΩ . Справочные данные производителя весьма информативны.

Рис. 6.35 Активный фильтр с множественными обратными связями. Здесь 2-полюсный ФНЧ

MFB имеет интересное преимущество перед VCVS: по мере приближения рабочей частоты фильтра к \( f_T \) используемого ОУ, рост выходного импеданса последнего меньше портит параметры схемы. Моделирование в SPICE работы VCVS и MFB фильтров низкой частоты Баттерворта 2-го порядка отлично выявляет данный эффект ( рис. 6.36 и 6.37 ). Была установлена частота среза 4 kHz , т.е. гораздо ниже \( f_T \) LF411 ( 4 MHz ). В VCVS варианте рост \(Z_{out}\) усилителя позволяет входному сигналу пролезать на выход через первый конденсатор, а в MFB этот путь отсутствует 34 . Эффект не особо серьёзный и снижается по мере увеличения номиналов резисторов, как видно на рис. 6.36 . Этот недостаток не мешает VCVS жить, работать и оставаться по-прежнему популярным 35 .

Рис. 6.36 Рост выходного импеданса ОУ ухудшает подавление VCVS фильтра ( Саллена-Ки ) на высокой частоте, позволяя входному сигналу пролезать на выход через входной резистор и конденсатор обратной связи ( \(R_1\) и \( C_1 \) на рис. 6.28 ). Увеличение номинала резистора уменьшает этот эффект. См. также рис. 6.37
Рис. 6.37 Рост выходного сопротивления ОУ на высокой частоте мало влияет на подавление MFB фильтра в полосе заграждения ( см. рис. 4.53 ), если сравнивать с VCVS схемой. Недостатки последней можно снизить, добавив второй ОУ в качестве выходного каскада. Сигнал для него надо брать с неинвертирующего входа основного ОУ

==414

6.3.4 Фильтр-пробка «Двойное-T»

Рис. 6.38 Пассивный фильтр-пробка «двойное-T»

Пассивная RC цепь на рис. 6.38 имеет бесконечное подавление на частоте \( f_c=1/( 2πRC ) \) . Бесконечное подавление - явление для RC фильтров нехарактерное. В данном случае схема работает, складывая два сигнала, развёрнутые по фазе на 180° на частоте \( f_c\) . Такой способ предполагает хорошее согласование компонентов на частоте подавления. Схема называется «двойное-T» и используется для вырезания интерференционных составляющих, например, наводок от силовой сети. Проблема в том, что у неё такие же «мягкие» характеристики, как и у прочих RC цепей везде, кроме собственно \( f_c\) , где АЧХ падает, как в пропасть. Например, при работе от качественного источника сигнала «двойная-T» цепь показывает подавление 10 dB на удвоенной ( или на половине ) частоте заграждения и 3dB на учетверённой ( или одной четвёртой ). Одним из приёмов улучшения параметров заграждения является «активация» схемы наподобие фильтра Саллена-Ки ( рис. 6.39 ). Идея смотрится неплохо, но практика использования разочаровывает. По мере увеличения крутизны заграждающей характеристики, т.е. увеличения усиления в цепи вольтодобавки глубина нуля [* степень подавления на частоте заграждения] уменьшается.

Рис. 6.39 «Двойное-T» с вольтодобавкой

Фильтры «двойное-T» доступны в виде готовых модулей на частоты от 1 Hz до 50 kHz при глубине подавления около 60 dB ( с некоторой деградацией при высоких и низких температурах ). Устройство легко повторить на дискретных компонентах, но, если нужно хорошее и стабильное подавление, придётся поискать резисторы и конденсаторы с хорошей стабильностью и низким температурным коэффициентом. Один из элементов должен быть подстраиваемым.

==415

Схемы «двойное-T» хорошо работают в качестве фильтров-пробок на фиксированную частоту, но попытка добавить в схему подстройку - это совершеннейший ужас, потому что для поддержания постоянства подавления три резистора должны подстраиваться одновременно. Зато есть очень простая RC цепь ( рис. 6.40A ), работающая подобно «двойному-T», но поддающаяся подстройке в широком диапазоне частот ( минимум две октавы ) одним потенциометром. Подобно «двойному-T» ( и большей части активных фильтров ) схема требует согласования компонентов. В данном случае требуется 3 идентичных конденсатора, а постоянный резистор должен быть точно в 6 раз больше, чем сопротивление потенциометра. Частота заграждения находится по формуле: \[ f_{notch}=\frac{1}{2πC\sqrt{3R_1R_2}}. \]

Рис. 6.40 Управляемый фильтр-пробка на мостовом дифференциаторе (A). Реализация для перестройки в диапазоне 25...100 Hz (B)

На рис. 6.40B показан вариант, допускающий перестройку в диапазоне 25...100 Hz . Триммером 50 kΩ подстраивается ( один раз ) глубина подавления на частоте заграждения.

Так же, как и в случае пассивной цепи «двойное-T», данный фильтр ( известный как мостовой дифференциатор ) имеет плавный спуск кривой подавления вне частоты заграждения и бесконечное подавление ( предполагается хорошее согласование величин компонентов ) на частоте заграждения. Его тоже можно «активировать», добавив в движок переменного резистора вольтодобавку, как на рис. 6.39 , с коэффициентом усиления чуть менее единицы. Приближение усиления к единице делает пик на графике подавления Уже, но одновременно вызывает появление на АЧХ неприятного выброса выше частоты заграждения и уменьшает общую величину подавления.

6.3.5 Всепропускающие фильтры

Всепропускающие?! Всёпропускающие? [* Да ладно! Вы уже раньше проболтались, что они существуют. Поздно делать удивлённое лицо] . Зачем это нужно? Кому это может понадобиться, если простой кусок провода решит такую задачу, причём, скорее всего, лучше?

Всепропускающие фильтры, известные также в качестве корректоров задержки или корректоров фазы , - электронные устройства с плоской амплитудной характеристикой, но с изменяющимся по частоте сдвигом фазы. Они используются для компенсации сдвигов фаз ( или выравнивания времени задержки ) в пути распространения сигнала.

На рис. 6.41 показана базовая схема. Достаточно понятно, что схема ведёт себя как инвертор на низких частотах ( где на неинвертирующий вход ничего не попадает ) и как повторитель на высоких частотах ( рекомендуется освежить в памяти схему усилителя с переключаемой полярностью из §4.3.1.A ). Выписав пару уравнений, можно убедиться, что схема работает в соответствии с приведёнными графиками. Если поменять местами R и C, то устройство будет работать аналогично, но фаза начнёт отставать ( вместо опережения ) между экстремумами чистого инвертора и чистого повторителя. Величину сдвига можно регулировать, сделав R переменным, но здесь надо учитывать, что малое сопротивление этого резистора снизит входной импеданс схемы на высокой частоте, где реактивное сопротивление C будет близко к нулю.

Рис. 6.41 Всепропускающий фильтр, известный как корректор задержки или корректор фазы

Вариант на рис. 6.42 позволяет менять фазу на полные 360° . Недостатком является то, что для сдвига фазы надо менять величину двух компонентов одновременно ( например, пары одинаковых резисторов ). Для таких задач отлично подходят электронные потенциометры ( «EEpot» ), кратко упомянутые в ##§3.4.3.E.

Рис. 6.42 Всепропускающий фильтр с полным диапазоном изменения фазы 360° ( Genin, R., Proc. IEEE, 56, 1746 ( 1968 ))

6.3.6 Фильтры на переключаемом конденсаторе

==416

Одним из недостатков биквадратных фильтров и схем с управляемыми параметрами является необходимость использования хорошо согласованных конденсаторов. Если схема собирается из обычных операционных усилителей, то придётся подобрать парочку стабильных конденсаторов ( танталовые, электролитические и керамические высокой ёмкости не подойдут ), подогнанных с точностью нe хуже 1% , чтобы получить приличные параметры фильтра. Кроме того, придётся сделать много соединений, т.к. схемы используют минимум три операционных усилителя и шесть резисторов для каждой 2-полюсной секции. Или можно купить ИМС активного фильтра, с уже подогнанными интегрированными конденсаторами 1000 pF±0.5% . Производители кремния уже решили указанные проблемы, но хотят за это денег: UAF42 и MAX274 – «универсальные микросхемы активных фильтров» собраны по гибридной технологии с лазерной подгонкой и стоят около $8-16 за штуку. И эти фильтры «непрерывного времени» не предполагают лёгкой подстройки.

6.3.6.A Интегратор на переключаемом конденсаторе

Есть ещё один способ реализации интеграторов, которые нужны в фильтрах с управляемыми параметрами или биквадратных конфигурациях. Исходная идея - использовать МОП ключ с внешним прямоугольным тактовым сигналом достаточно высокой частоты ( обычно требуется в 100 раз большая, чем интересующий аналоговый сигнал), как показано на рис. 6.43 . Симпатичный маленький треугольник с двумя выводами - цифровой инвертор, который обращает фазу на 180° , чтобы два МОП ключа замыкались в разных полупериодах прямоугольного сигнала.

Рис. 6.43 (A) Интегратор на переключаемом конденсаторе. (B) Обычный интегратор

Анализ схемы прост. Когда ключ \( S_1\) замкнут, \( C_1 \) заряжается до \( V_{in}\) , т.е. накапливает заряд \( V_{in}C_1\) . В следующем полупериоде \( C_1 \) разряжается в виртуальную землю, передавая свой заряд на \( C_2\) . Таким образом, напряжение на \( C_2\) меняется на величину \(Δ V=Δ Q/C_2=V_{in}C_1/C_2\) . Отметим, что изменение выходного напряжения в каждом цикле прямоугольного тактового сигнала пропорционально \( V_{in}\) ( предполагается, что последнее меняется за указанное время незначительно [* ибо соотношение частот изначально выбрано 1:100 ] ). Легко показать, что схема подчиняется приведённым соотношениям, т.е. ведёт себя как интегратор.

Упражнение 6.6
Выведите уравнения на рис. 6.43 .

Упражнение 6.7
Есть ещё один способ разбора работы интегратора на переключаемом конденсаторе. Подсчитайте средний ток, протекающий через ключ \( S_2\) в виртуальную землю. Результат должен быть пропорционален \( V_{in}\) . Это означает, что цепь из \( S_1\) , \( C_1 \) и \( S_2\) действует подобно резистору, формируя классический интегратор. Чему равно эквивалентное сопротивление такой цепи в терминах \( f_0\) и \( C_1?\) Учтите, что для приведения к уравнению на рисунке \( V_{out}=f_0( C_1/C_2 )\int V_{in}dt\) .

6.3.6.B Преимущества фильтров на переключаемом конденсаторе

В использовании интеграторов на переключаемом конденсаторе вместо обычных есть два плюса. Во-первых, как уже отмечалось ранее, их проще и дешевле делать в интегральном исполнении, т.к. коэффициент передачи интегратора зависит только от отношения двух емкостей, а не от их абсолютного значения [* \( C_1/C_2\) , а в интеграторе непрерывного времени 1/( \(RC\) )] . В общем случае в кремнии легко создавать согласованные пары, но очень сложно получать точные и стабильные абсолютные величины, что для резисторов, что для конденсаторов. В результате фильтры на переключаемом конденсаторе недороги: ИМС универсального фильтра MF10 фирмы TI имеет два фильтра в одном корпусе и стоит $3.50 ( а одинокий UAF42, построенный по обычной схеме - $16 ).

==417

Во-вторых, фильтры на переключаемом конденсаторе способны менять свои параметры, например, центральную частоту в полосовых фильтрах или точку «-3dB» в ФНЧ, вслед за изменением тактовой частоты 36 . Это возможно, потому что характеристическая частота биквадратной схемы или фильтра с управляемыми параметрами пропорциональна, точнее, зависит исключительно от усиления интегратора.

6.3.6.C Конфигурации фильтров на переключаемом конденсаторе

Микросхемы фильтров на переключаемом конденсаторе выпускают как с жёстко заданной, так и со свободной «универсальной» конфигурацией. В первом случае в корпусе уже собраны все компоненты, нужные для построения ФНЧ требуемого типа ( Баттерворта, Бесселя, Кауэра, т.е. эллиптический ). А в универсальной версии промежуточные сигналы выведены наружу и позволяют собрать любой желаемый фильтр. За универсальность приходится платить большими размерами корпуса и необходимостью подбора внешних резисторов. Например, LTC выпускает законченный эллиптический фильтр 8-го порядка LTC1069-6. Он упакован в 8-ногий корпус и стоит около $9. Их же счетверённый 2-полюсный универсальный фильтр выпускается в 24-ногом корпусе, стоит порядка $15 и требует 12 внешних резисторов для создания чего-либо сравнимого с LTC1069-6 по параметрам. Рис. 6.44 показывает, сколь просто использовать специализированный вариант. Читатель может заглянуть в §7.1.5.A , чтобы ознакомиться с элегантным и простым генератором синуса, который использует следящий фильтр на переключаемом конденсаторе и один источник прямоугольного тактового сигнала с частотой в 128 раз большей, чем выходной синусоидальный сигнал ( рис. 7.18 , 7.19 ).

Рис. 6.44 Фильтр с заданной производителем функциональностью не требует внешних компонентов. Эллиптический фильтр 8-го порядка имеет неравномерность 0.1 dB в полосе пропускания и подавление более 40 dB на частоте 1.3×\( f_{3dB} \)

И специализированные и универсальные фильтры используют в качестве базового строительного элемента 2-полюсный фильтр с управляемыми параметрами, в котором классический интегратор непрерывного времени на ОУ заменён схемой с переключаемым конденсатором ( рис. 6.45 ). В универсальном фильтре располагаются четыре таких секции, которые можно каскадировать для увеличения порядка ( каждая секция при этом отвечает за свой элемент многочлена, реализующего функцию фильтра ), либо использовать по отдельности для увеличения числа каналов ( но параметры их будут определяться общим тактированием ). Справочные данные производителей микросхем и предлагаемые ими программы делают разработку фильтров из описанных «заготовок» совершенно несложным делом 37 . Для фильтров с заданной функциональностью считать вообще ничего не надо, достаточно просто включить его в схему.

Рис. 6.45 Один строительный блок 2-го порядка «универсального» фильтра на переключаемом конденсаторе. На таком элементе можно собрать фильтр нижних частот, верхних частот, полосовой, заграждающий и всепропускающий. Функция выбирается внешними соединениями. Конденсаторы уже есть внутри, от пользователя требуются только резисторы

6.3.6.D Недостатки фильтров на переключаемом конденсаторе

Теперь о грустном. Фильтры на переключаемом конденсаторе присущи три неприятных свойства, обязанные своим появлением постоянно тикающему тактовому сигналу. Во-первых, имеется проникание тактовой частоты: появление некоторого выходного сигнала ( обычно порядка 10...25 mV ) с частотой тактирования, независимого от входного сигнала. Явление обычно проблем не доставляет, т.к. частота эта сильно отстоит от интересующей аналоговой полосы, и простая RC цепочка поможет с ней справиться.

==418

Во-вторых, возникает и более тонкая проблема. Если во входном сигнале есть частотные компоненты, располагающиеся неподалёку от тактовой частоты, то они будут «перенесены» вниз в рабочую полосу. Если точнее, то вся энергия входного сигнала, попадающего в частотный промежуток шириной в рабочую полосу по обе стороны от тактовой частоты, появятся без какого-либо ослабления в рабочей полосе. Например, если задействовать MAX7400 ( эллиптический ФНЧ 8-го порядка ) в качестве фильтра со срезом на частоте 1 kHz ( т.е. \( f_{clk}\space \)=100 kHz ), вся энергия входного сигнала в полосе 99...101 kHz появится в полосе 0 Hz...1 kHz . Никакой фильтр на выходе убрать её не сможет! [* Готовый компонент для синхронного детектирования, между прочим] . Т.е. необходимо обеспечить отсутствие спектральных составляющих сигнала на частоте тактирования. Если нет прямых противопоказаний, то подойдёт обычный RC фильтр, потому что тактовая частота сильно отстоит от рабочей полосы. Задача организации входного спектрального фильтра упрощается при использовании микросхем с большим отношением тактовой частоты к рабочей ( т.е. 100:1 , вместо 50:1 или 25:1 ). Несколько очень приятных ИМС с отношением 1000:1 [* только для ФВЧ] выпускает фирма Mixed Signal Integration. например, их серия MSHN 38 . Большая разница частот сглаживает «ступенчатость» выходного сигнала этих фильтров. [* Подробнее тема частотных компонент, спектральных фильтров и переноса сигналов разбирается в Части 13 в §13.5.1 ] .

В-третьих, фильтры на переключаемом конденсаторе снижают общий динамический диапазон сигнала, т.к. из-за неполной компенсации переноса заряда в МОП ключе ( ##§3.4.2.E ) они повышают «общий уровень шума». Это проявляется в увеличении шумов в полосе пропускания. Типовые заявляемые величины динамического диапазона составляют 80...90 dB . В дополнение к уменьшению диапазона ( относительно фильтров непрерывного времени ) фильтры на переключаемом конденсаторе вносят в сигнал больше искажений, чем того можно ожидать. Особенно хорошо это заметно на сигналах, приближающихся к шинам питания.

Рис. 6.46 ФНЧ с точным постоянным уровнем LTC1062. Внешний тактовый сигнал должен иметь полный размах питания ( стоит добавить последовательный защитный резистор ). Ещё один вариант включения: поставить конденсатор между выводом «CLK» и землёй, чтобы включить внутренний генератор

Подобно любым линейным схемам, фильтры на переключаемом конденсаторе ( и схемы на ОУ ) подвержены негативному воздействию типовых ошибок усилительных схем, вроде напряжения смещения и низкочастотного шума вида 1/\( f \) . Такое положение создаёт изрядные неудобства, если нужно, скажем, фильтровать какой-нибудь низкоуровневый сигнал так, чтобы не вносить ошибок и смещений в его среднюю постоянную составляющую. В такой ситуации помощь может оказать LTC1062 «ФНЧ без ошибок на постоянном токе» от изобретательной Linear Technology ( или MAX280 с улучшенными параметрами на постоянном токе ). На рис. 6.46 показано, как их использовать. Основная идея: удалить фильтр из пути распространения постоянного тока, позволяя низкочастотным сигналам проходить на выход в пассивном режиме. Фильтр начинает воздействовать на линию только на высоких частотах, где он начинает шунтировать сигнал на землю. В результате получаем нулевую ошибку по постоянному току, а шум самого фильтра попадает в сигнал только в районе частоты среза ( рис. 6.47 ) 39 . Из таких фильтров тоже можно создавать настраиваемый фильтр-пробку, а также каскадировать их, чтобы повышать порядок или заострять переходную характеристику.

Рис. 6.47 Спектр шума на выходе LTC1062 ( по данным производителя )

Фильтры на переключаемом конденсаторе предлагают многие фирмы, в том числе Linear Technology, TI и Maxim. Их частоту среза ( или центр полосы пропускания ) можно расположить в любом месте от постоянного тока до нескольких десятков килогерц, а отношение характеристической частоты к тактовой составляет 50 или 100 . Большая часть таких микросхем предназначена для работы в качестве ФНЧ, полосовых или фильтров-пробок, но универсальные модели можно включить и в качестве ФВЧ. Отметим, что в последнем варианте пролезание тактовой частоты в сигнальные цепи и эффекты квантования сигнала становятся особенно неприятны, потому что оба явления попадают в полосу пропускания.

6.3.7 Цифровая обработка сигналов

Тема фильтров не может считаться завершённой без упоминания повсеместно используемой техники цифровой обработки сигналов ( DSP ), известной также как техника обработки сигналов дискретного времени . Современные электронные системы, содержащие микропроцессоры, предпочитают цифровые методы фильтрации за их гибкость и эффективность. Цифровая обработка - производство каких-либо действий над сигналами в цифровой форме, когда непрерывный сигнал ( например, речевой ) преобразуется в последовательность цифр, соответствующих последовательным измерениям амплитуды через равные промежутки времени. Под «действиями» может пониматься любая задача, которую можно обнаружить в аналоговом сегменте: фильтрация, сложение, подавление или усиление, нелинейная компрессия, ограничение и т.д. Но, кроме того, сюда попадают и более сложная обработка, опирающаяся на вычислительные возможности процессоров: кодирование, коррекция ошибок, шифрование, спектральный анализ, синтез речи, обработка изображений адаптивная фильтрация, сжатие без потерь и т.п.

==419

Подробный разбор перевода сигналов в цифровую форму будет вестись в Части 13 ( «Аналого-цифровые преобразования» ), а программной обработки в Части ##15 ( «Микроконтроллеры» ), где обсуждаются электронные средства преобразования сигналов из аналоговой формы в цифровую и работа с полученными цифрами. Здесь же будет просто представлена цифровая обработка сигналов в приложении к теме фильтрации и краткий обзор возможностей цифровых методов в сравнении с аналоговыми. Речь будет идти только об одномерной фильтрации, т.е. обработке «одномерных» сигналов, например, речевых. Типичным двумерным сигналом является изображение: его значение является функцией двух координат. Одномерные сигналы характеризуются напряжением \( V( t )\) , которое меняется во времени.

6.3.7.A Выборка

Цифровое представление непрерывного сигнала предполагает измерение его амплитуды через равные промежутки ( исключения бывают, но редко ) времени - выборки, с получением набора цифровых значений. Качество перевода сигнала в цифровую форму имеет два параметра: частотную составляющую, определяемую частотой выборки и критерием Найквиста ( см. рис. 13.60 ), и динамическую составляющую, которая объединяет разрядность и шум ( см. §13.5.1 ). Здесь есть о чём поговорить, но на данный момент достаточно знать, что делать выборки надо на частоте, как минимум вдвое превышающей самую высокочастотную компоненту входного сигнала \( f_{samp} \) ≥ 2\( f_{sig}(max) \) , и что для сохранения нужного динамического диапазона оцифровку надо выполнять с n-разрядной точностью с учётом того факта, что динамический диапазон равен (6×n) dB .

Предположим, что аналоговый сигнал оцифрован с помощью аналого-цифрового преобразователя, со спектральным ФНЧ на входе, чтобы гарантировать отсутствие в сигнале гармоник, выходящих за частоту Найквиста \( f_{samp} \)/2 .

6.3.7.B Фильтрация

Последовательность амплитуд ( назовём её \(x_n\) , для n-ного значения ) представляет входной сигнал [* такая последовательность называется «вектором длины < переменная, отвечающая за длину последовательности >»] . Требуется отфильтровать последовательность, скажем, с помощью ФНЧ. Есть два больших класса цифровых фильтров: с конечной импульсной характеристикой - КИХ ( FIR ) и с бесконечной импульсной характеристикой - БИХ ( IIR ). КИХ проще для понимания. Каждое число на выходе такого фильтра является просто взвешенной суммой некоторого числа входных значений ( рис. 6.48 ): \[ y_i=\sum_{k=-∞}^{∞} a_kx_{i-k} \] где \(x_i\) - амплитуды входных сигналов , \(a_k\) - весовые коэффициенты , а \(y_i\) - число на выходе фильтра [*] . В жизни число весовых коэффициентов ограничивают каким-либо значением, поэтому и операцию суммирования проводят только на конечном числе входных значений. Строго говоря, набор коэффициентов - это некое приближение к обратному преобразованию Фурье для желаемой функции фильтра. [**]

Рис. 6.48 Цифровой фильтр с конечной импульсной характеристикой ( КИХ)

[*]
[* Пояснение картинки
На рисунке описывается момент времени \(i\). Квадратики с пометкой «\(X_{(i+T )}\)» - цифровые значения амплитуды в последовательные моменты времени. Подписи под квадратиками вида «\(a_Z\)» - множители для амплитуды, определяющие «функцию фильтра» ( так же, как номиналы R и C определяют фильтр Чебышева, Бесселя или Баттерворта ). Для получения выходного значения «\(Y_i\)» надо просуммировать ряд произведений ..( \(a_{-3}·X_{i+3}\) ) , ( \(a_{-2}·X_{i+2}\) ) , ... ( \(a_3·X_{i-3}\) )... Данная операция называется «взвешивающее суммирование», \(a_Z\) - «весовым коэффициентом». Число суммируемых произведений определяется числом «точек», т.е. для «##512-точечного» фильтра надо складывать 512 промежуточных произведений. Получение 512 значений «\(a_Z\)» и является задачей расчёта цифрового фильтра. Дальше будет дан простой пример ].

[**]
[* Прямое преобразование Фурье раскладывает сигнал по спектральным составляющим, коих в реальных условиях бесконечно много, на что намекают символы бесконечности в индексах суммы из уравнения. Соответственно, частичная сумма составляющих восстанавливается в сигнал с некоторой погрешностью] .

Отметим интересное и важное свойство такого фильтра: его выход формируют выборки как из «прошлого» [* на рис. 6.48 \(x_{i-1}\) , \(x_{i-2}\) , \(x_{i-3}\)] , так и из «будущего» [* \(x_{i+1}\) , \(x_{i+2}\) , \(x_{i+3}\) , а «настоящее», стало быть, \(x_i\)] . Таким образом, операция нарушает причинно-следственную связь ( эффект должен следовать за причиной его появления ). Это возможно, потому что существует общая задержка между входным и выходным сигналами. [* Ну, иначе говоря, «это невозможно» . [*] ] . Способность «видеть будущее» ( которым не обладает аналоговый фильтр ) позволяет цифровому фильтру реализовывать амплитудные и фазовые характеристики, которые невозможны в аналоговых фильтрах, встречавшихся до настоящего времени.

[*]
[* Для проведения операции суммирования в буфере фильтра уже должны быть отсчёты из так называемого «будущего». Это значит, что заглянуть в будущее можно, только когда оно уже произошло, в строгом соответствии с принципом «Чтоб я таким умным был ДО, как моя Сара ПОСЛЕ». Вместо переменной «Сара» надо подставить требуемую функцию цифрового фильтра.

Ещё раз.
Будущее относительно отсчёта \(x_i\) и соответствующего ему выхода \(y_i\) ( которые нифига не уникальны, что бы они о себе ни воображали ). Но к моменту начала работы с \(x_i\) в очереди на обработку может уже находиться, скажем, \(x_{i+1000}\) отсчёт, т.е. о реальном предвидении речь не идёт. Задержка в цифровом фильтре его имманентное свойство и никаких причинно-следственных законов он не нарушает.
Аналоговый вариант является фильтром непрерывного времени, где нет дополнительной задержки, зато есть время зарядки конденсаторов, изменения тока в индуктивностях и скорости нарастания ОУ, короче, времена сравнимы. Другое дело, что цифровые данные удобнее обрабатывать, и делать это можно, выбирая время, место и способ, а с аналоговой величиной можно работать только «здесь», только «сейчас» и только в рамках, налагаемых схемотехникой. См. примечание в §6.2.6.B ].

БИХ (IIR ) фильтр отличается тем, что его собственное выходное значение со своим весовым коэффициентом используется при суммировании наравне с входными данными, как в КИХ схеме. Поэтому их называют рекурсивными фильтрами. В качестве простейшего примера может выступать выражение \[ y_i = b·y_{i-1} + (1 - b)·x_i, \] каковое является цифровым аналогом RC фильтра непрерывного времени. Для такого случая коэффициент \(b\) должен составлять \(b=e^{[-τ/( RC )]}\) , где \(τ\) - время между выборками. Ситуация, конечно, не идентична работе аналогового фильтра низких частот с аналоговым сигналом из-за прерывистой [* линейчатой, разрывной, дискретной] природы результатов периодического измерения амплитуды аналогового [* непрерывного] сигнала.

==420

Оба типа фильтров и КИХ, и БИХ имеют свои «про» и «контра». КИХ выбирают чаще, потому что проще понять, как они работают, их проще реализовать, они стабильны по своей природе ( нет обратной связи ) и их можно сделать линейно фазовыми ( т.е. с постоянной, не зависящей от частоты задержкой ), что чаще всего и происходит. БИХ варианты экономичнее, требуют меньше коэффициентов [* т.е. меньше шагов умножения-суммирования] , а значит меньше памяти и вычислительного времени. По такой схеме проще реализовывать алгоритмы классических аналоговых фильтров. Наконец, они особенно удобны для задач, требующих высокой избирательности, например, фильтров-пробок. Зато им требуется бОльшая разрядность при вычислениях, чтобы избежать нестабильности и «тонов паузы» [* см §13.9.10 ] и их труднее переводить в программную форму.

6.3.7.C Пример: БИХ фильтр нижних частот

В качестве простого примера предположим, что требуется отфильтровать набор чисел, представляющих сигнал, с помощью ФНЧ с частотой среза \( f_{3dB}=1/( 20t_S ) \) , т.е. аналога простой RC секции с такой же частотой среза. Постоянная времени в данном случае равна промежутку времени, который занимают 20 выборок. Отсюда, A=0.95123 , а выход равен \[ y_i = 0.95123y_{i-1} + 0.04877x_i. \]

Чем больше постоянная времени в сравнении с промежутком между выборками \( t_S\) , тем точнее цифровой фильтр повторяет аналоговый.

Цифровой фильтр можно наложить на уже имеющиеся в памяти данные. В таком случае он превращается в простую вычислительную операцию, проводимую над всеми данными за один раз. [* Как насчёт видения «будущего» в этом случае? А чем данный вариант отличается от работы с АЦП «on-line»?]

6.3.7.D Пример: КИХ фильтр нижних частот

Идеальный фильтр нижних частот имеет единичный отклик на частоте среза \( f_c\) и нулевой выше неё. Т.е. АЧХ должна быть прямоугольной ( «кирпичная стенка» ). В первом приближении коэффициенты \(a_k\) КИХ фильтра задаёт прямоугольное преобразование Фурье, а именно \(\sin(x)/x\) ( или sinc функция ), в которой масштабирование аргумента зависит от отношения между частотой среза и частотой выборки: \[ a_k∝ \frac{\sin( 2πkf_n )}{2πkf_n} \qquad [6.18] \] где целые k лежат в промежутке от \(-∞\) до \(+∞\) , а \( f_n\) - нормализованная частота среза, определяемая как \( f_n = f_c/f_s\) .

В реальных вычислениях используется конечное число множителей k . Пусть их будет N . Возникает вопрос, какой ограниченный набор коэффициентов фильтра \(a_k\) , где k лежит в промежутке от -N/2 до +N/2 , в наибольшей степени соответствует идеальному фильтру нижних частот? Ответ гораздо сложнее, чем кажется в первый момент. Помимо всего прочего он зависит от того, что следует понимать под термином «в наибольшей степени».

Если просто отбросить все коэффициенты, выходящие за длину суммируемого массива выборок, итоговая характеристика фильтра будет иметь большие выбросы на АЧХ в полосе заграждения, т.е. плохое подавление на некоторых частотах. Это точный аналог проблемы «утечки спектра» в цифровых анализаторах спектра или дифракции боковых лепестков в оптике. И способ борьбы тот же: нужно плавно уменьшать коэффициенты \(a_k\) , масштабируя их с помощью «оконной функции». Сама функция должна плавно сходить на нет с двух сторон ( в спектральном анализе умножают входные цифровые значения амплитуды сигнала на подобную оконную функцию, а в оптике «усекают» апертуру маской, чья плотность увеличивается по направлению к краям ). В результате сильно снижаются пульсации в полосе заграждения, но увеличивается «плавность» перехода от пропускания к заграждению ( в спектральном анализе приём сильно уменьшает утечку спектра в соседние группы частот, но увеличивает ширину групп; в оптике боковые лепестки уменьшаются, но снижается и разрешение в форме более широкой «функции размывания точек» ). Наиболее известные оконные функции имеют имена Хэмминга, Хэннинга и Блэкмен-Харриса. Не существует «самого лучшего» окна: всегда приходится выбирать между скоростью перехода к полосе заграждения и уровнем заграждения в ней. Но по большей части не имеет никакого значения, какая именно функция из числа стандартных выбрана 40 .

Вторым аспектом является выбор такой частоты среза \( f_n\) , чтобы для неё хотя бы часть коэффициентов полинома становилась равной нулю. За счёт нулевого масштабного множителя можно сократить число умножений и сложений для соответствующих членов суммы. Например, такая ситуация возникает, если \( f_n\)=0.25 ( частота выборок в четыре раза выше частоты среза ). Для такого случая коэффициенты из уравнения [6.18] станут \[ a_k∝ \frac{\sin(πk/2 )}{πk/2} \qquad [6.19] \] т.е. все коэффициенты при чётных k , кроме \(a_0\) , обнуляются [* \(\sin(π) = 0\) , и, кстати, в русской математической школе нуль к чётным числам не относится ] . Ещё один бонус можно получить, выбирая длину фильтра N кратной 4 . Такой вариант исключает краевые члены ( для k=±N/2 ), потому что k в этом случае гарантированно чётное.

==421

Т.к. максимальная частота среза, допускаемая теоремой Найквиста равна половине частоты выборок ( \( f_n\)=0.5 ), фильтр со срезом \( f_n\)=0.25 называется «half-band». Рис. 6.49 и 6.50 показывают результат фильтрации при N=8, 16, 32 и 64 , где коэффициенты считаются по уравнению [6.19] для оконной функции Хэмминга. Последняя проявляется в виде косинуса и выглядит приблизительно так: \[ w(k )=0.54 + 0.46\cos( 2πk/N ). \qquad [6.20] \]

Последним шагом является нормализация коэффициентов ( масштабирование в единой пропорции ) так, чтобы их сумма была равна 1 , т.е. усилению фильтра на постоянном токе. Таким образом, порядок таков:

  • выбрать N ( предпочтительны значения, кратные 4 );
  • для каждого положительного нечётного k вплоть до k=N/2 рассчитать sinc-функцию по уравнению [6.19] и
  • умножить результат на коэффициент Хэмминга из уравнения [6.20] , чтобы получить \(a_k\) ( пока не нормализованные ).

Стоит отметить, что коэффициенты симметричны ( \(a_{+k}=a_{-k}\) ) , а член \(a_0\) всегда равен единице, т.к. и \( sinc(0) \) , и \(w(0) \) имеют единичное значение.

  • На последнем шаге надо нормализовать все коэффициенты, разделив каждый на их общую сумму.

Рис. 6.49 АЧХ КИХ-фильтра половинной полосы в линейных координатах. Фильтр порядка N требует (N/2)+1 коэффициент
Рис. 6.50 АЧХ фильтра с рис. 6.49 в логарифмических координатах лучше показывает процессы в полосе заграждения

Т.к. все чётные коэффициенты равны нулю, то, хотя длина данных остаётся равной N значений, число коэффициентов уполовинивается ( почти, из-за \(a_0\) ) , т.е. для случаев на рис. 6.49 , 6.50 равно 5=(8/2)+1, 9=(16/2)+1, 17 и 33 . Если читатель захочет проверить расчёты, то для случая N=8 он должен получить: \[ \begin{align} a_0 &= &+0.497374 \\ a_1 = a_{-1} &= &+0.273977 \\ a_2 = a_{-2} &= &0 \\ a_3 = a_{-3} &= &-0.022664 \\ a_4 = a_{-4} &= &0 \end{align} \]

Дополнительные мысли: проблемы выбора оконной функции

В примере на рис. 6.49 и 6.50 использовалась оконная функция Хэмминга, частично по лености авторов ( меньше расчётов ), частично, оттого что это неплохой выбор с точки зрения уровня подавления ( ∼60 dB ). Но, как уже отмечалось ранее, можно получить более высокие параметры в полосе заграждения ценой несколько более пологого перехода к ней. Данный тезис отлично иллюстрирует рис. 6.51 , где даны результаты расчётов для КИХ ФНЧ половинной полосы с N=32 для трёх оконных функций. Коэффициенты для окна Блэкмена-Харриса получаются при сложении двух или трёх синусоидальных составляющих [* \(a_0\) не учитывается] с весовыми коэффициентами, выбранными для минимизации уровня боковых лепестков. Выглядит это так: \[ w(k ) = a_0 + a_1\cos( 2πk/N )+a_2\cos(4πk/N )+a_3\cos( 6πk/N ), \] где коэффициенты \(a_i\) для 3-элементной суммы равны \([a_0\) , \(a_1\) , \(a_2\) , \(a_3]\)=[ 0.42323, 0.49755, 0.07922, 0 ], а для 4-элементной - [ 0.35875, 0.48829, 0.14128, 0.01168 ]. Такие оконные функции позволяют получить впечатляющее подавление ( ∼85 и ∼105 dB соответственно, а у окна Хэмминга ∼55 dB ), но имеют более мягкий переход к заграждению. Стоит добавить, что речь идёт о модельных значениях, к коим на практике можно только приблизиться, и только если умножение и суммирование будут вестись с требуемой точностью, а АЦП имеет высокую линейность.

Рис. 6.51 КИХ ФНЧ половинной полосы порядка N=32 , рассчитанный с тремя оконными функциями. Обратите внимание на изменение вертикального масштаба по сравнению с рис. 6.49 и 6.50

==422

6.3.7.E Реализация

Цифровой фильтр можно собрать на дискретных элементах - сдвиговых регистрах, умножителях, аккумуляторах и всех прочих железках, которые описываются в Части 10 и ##11 [* а также по смешанной технологии: цифровой источник + аналоговый умножитель и сумматор, см. §13.14.8 и рис. 13.119 , на котором сухая математическая модель с рис. 6.48 явлена «во плоти»] . Но сейчас такая попытка будет выглядеть слишком эксцентричной. Современные вычислительные средства ( процессоры и микроконтроллеры ) позволяют решить такую задачу с гораздо большим удобством. Более того, существует целый класс специализированных процессоров, оптимизированных для операций умножения и сложения с накоплением, которые потребуются при расчётах, и эффективной обработки больших входных и выходных потоков данных. В качестве примера можно назвать серию TMS320 фирмы TI. На момент написания книги она включала кристаллы TMS320C64xx, которые способны выполнять 1k-точечное быстрое преобразование Фурье ( БПФ FFT ) за время порядка 1 μs (!), проводить обработку 10'000-элементного массива данных с помощью 32-коэффициентного КИХ фильтра за 108 μs . На другом конце спектра вычислительных средств находятся QF1D512 фирмы Quickfilter Technology. Это недорогая отдельная микросхема - 512-точечный КИХ-фильтр для чисел с разрядностью от 12 до 24 бит, следующих со звуковой частотой, и 32-разрядными программируемыми коэффициентами. Стоит меньше $2 в небольших количествах, поставляется вместе с бесплатным программным обеспечением и имеет массу отладочных плат.

6.3.8 Дополнительные замечания по фильтрам

6.3.8.A Линейность

В некоторых задачах фильтрации требуется сохранять высокую линейность передачи амплитуды, притом даже, что фильтр ослабляет разные частоты по-разному. Такое свойство требуется в частности в звуковоспроизведении. В таких местах следует использовать операционные усилители с малыми искажениями ( которые специально отмечены в справочных данных ) с подходящей полосой, скоростью нарастания и усилением. В качестве возможных кандидатов можно назвать LT1115, OPA627 и AD8599, см. табл. 5.4 на стр. 310 и обсуждение проблем разработки схем на быстрых ОУ в §5.8 . Дополнительные материалы есть в Части X4 . Не так очевидно, но столь же необходимо, использовать пассивные компоненты с хорошей линейностью. Первая неприятность, поджидающая на этом пути - керамика высокой ёмкости имеет умопомрачительную зависимость ёмкости от приложенного напряжения. Следом идут электролитические конденсаторы с чётко выраженным эффектом памяти, вызванным диэлектрической абсорбцией ( обсуждение в Части ##X1 ). В фильтрах надо использовать плёночные (желательно полипропиленовые ) конденсаторы или керамику NPO/C0G.

В LC цепях надо использовать катушки, намотанные на магнитном материале с хорошей линейностью. Это большая проблема для любых магнитных материалов, отсутствующая только в катушках в воздушным «сердечником». Последние имеют разумные размеры при номиналах до 1 mH или около того.

6.3.8.B Программы для расчёта фильтров

Когда-то разработка фильтров была сложной проектной задачей. Те времена ушли. Существует достаточно специализированных удобных в работе программ. Для фильтров непрерывного времени надо задать требования по пропусканию и заграждению ( частоту среза, пульсации, подавление и т.д. ) и программа выдаст число секций в зависимости от конфигурации ( Саллена-Ки, биквадратная и т.д. ) и типа ( «Бессель», «Чебышев»,.. ), схему и графики АЧХ/ФЧХ и времен задержки от частоты. Такие же программы есть и для фильтров на переключаемом конденсаторе. Ниже даётся список полезных, по мнению авторов, ресурсов. Большая их часть свободная, но есть и коммерческие.

  • LC filters:
    - http://www-users.cs.york.ac.uk/~fisher/lcfilter/
    - MMICAD ( Optotek )
  • Analog active filters
    - EilterPro ( TI )
    - EilterCAD ( LTC )
    - ADI Analog Filter Wizard
    - http://www.beis.de/Elektronik/Eilter/Filter.html
  • Digital filters:
    - http://www-users.cs.york.ac.uk/~fisher/mkfilter/
  • All types
    - Filter Solutions, Filter Light, and Filter Free (http://www.nuhertz.com/filter/)

24 Или даже на отдельных транзисторах, как в фильтрах Саллена-Ки. <-

25 Итоговые конфигурации часто идентичны таковым у схем непрерывного времени, например, «фильтрам с изменяемыми параметрами» или «биквадратным» . <-

26 The Art of Electronics, 2nd edition, стр. 249 и 549. <-

27 «Анализ архитектуры Саллена-Ки» ##SLOA024B ( 2002 ) и «Разработка активного фильтра нижних частот» ##SLOA049B ( 2002 ). <-

28 Предупреждение: обозначения элементов \(R\) и \( C \) в книге соответствуют таковым из оригинальной публикации Саллена и Ки, но во многих других местах, включая статьи Карки, \( C_1 \) и \( C_2\) поменяны местами. <-

29 Уравнения можно преобразовать, чтобы выразить m через n при заданной величине Q . Для этого надо задать переменную \(\alpha=(n/( 2Q^2 ))-1\) , тогда \(m=\alpha+\sqrt{\alpha^2-1}\) . <-

30 По утверждению многих авторитетных источников речь идёт о соотношении \( f_T \) ≥ 50×\(Q^2\)×\(f_c\) , где Q одной секции на ОУ задаётся в терминах усиления K ( также как в таблице ), т.е. Q = 1/(3-K) . Иногда встречается альтернативные условия требуемой полосы \( f_T \) ≥ 50×\( f_c\) или \( f_T \) ≥ 50×K×\( f_c\) , но всё это цифры одного порядка. [* Интересно, что для генераторов Вина на RC паре для устойчивой генерации без ограничения амплитуды требуется усиление G=3 §7.1.5.B ] . <-

31 И, конечно, эти, и все прочие реализации активных фильтров, не требуют катушек индуктивности. <-

32 Как управлять такими штуками рассказывается в Части 10 [* §10.3.3.C ] . <-

33 В одном корпусе может быть и один, и два, и четыре, и даже шесть потенциометров. <-

34 Эффект описывается в публикациях Джеймса Кирки ##SLOA024B и ##SLOA049A, а также в статье Дейва ван Эсса ( Dave Van Ess ) «О чём не говорят в статьях о фильтрах Саллена-Ки» (“What Sallen-Key Filter Articles Don’t Tell You”) в EN-Genius analogZONE. <-

35 Простой способ справиться с проблемой на высокой частоте - дополнительная RC секция на выходе. Скажем, 200 Ω+7.5 nF сформируют дополнительный срез на частоте 100 kHz . <-

36 Большинство фильтров на переключаемом конденсаторе имеют частоту среза, равную 1/50 или 1/100 от тактовой. <-

37 В программе надо задать характеристическую частоту, подавление в полосе заграждения, пульсации в полосе пропускания и усиление. Программа сообщает требуемый порядок фильтра и номиналы резисторов. На выходе - графики усиления, фазы и задержки от частоты ( единицы осей по выбору ) и табличные значения, если требуются. <-

38 См. разбор работы MSHN5 в статье Джона Амброза ( John Ambrose ) “Notch filter autotunes for audio applications”, EDN Design Ideas, June 24, 2010. <-

39 Такой же трюк используется в многокаскадных FDNR фильтрах на GIC. <-

40 Чтобы узнать об оконных функциях больше, чем вам бы того хотелось, см. E. J. Harris, Proc. IEEE, 66, 51-83 ( 1978 ). <-

Previous part:

Next part: