Шапка

Приложение A. Математическая шпаргалка

==1097

Некоторое знание алгебры и тригонометрии абсолютно необходимо для понимания материала книги. Кроме того, полезен будет минимальный навык работы с комплЕксными числами и производными. Это приложение следует рассматривать в качестве краткой памятки по работе с комплЕксными числами, дифференцированию, некоторому набору полезных тригонометрических формул и действиям с экспонентами и логарифмами. Это не замена учебникам по указанным дисциплинам. Очень хорошо написанная, полезная и рекомендуемая книга по вычислениям разного рода D. Kleppner и N. Ramsey “Quick Calculus” [101] .

A.1 Тригонометрия, показательная функция и логарифм

Здесь простым списком приводятся некоторые полезные формулы. \[ x= \frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] является решением квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\). \[ \begin{align*} \sin(x ± y) &= \sin(x) \cos(y) ± \cos(x) \sin(y), \\ \cos(x ± y) &= \cos(x) \cos(y) ∓ \sin(x) \sin(y), \\ \sin(2x) &= 2\sin(x) \cos(x), \\ \cos(x) \cos(y) &= (1/2) \Big[ \cos(x+y) + \cos(x-y) \Big], \\ \cos(x) \sin(y) &= (1/2) \Big[ \sin(x+y) — \sin(x-y) \Big], \\ \sin(x) \sin(y) &= (1/2) \Big[ \cos(x-y) — \cos(x+y) \Big],\\ e^{(x+y)} &= e^x e^y, \\ e^{(x-y)} &= e^x / e^y, \\ x^{(a/b)} &= \sqrt[b]{x^a}, \\ e^{[log_e x]} &= x, \\ \ln(x·y) &= \ln(x) + \ln(y), \\ \ln(x/ y) &= \ln(x) - \ln(y), \\ \ln(x^n) &= n·\ln(x), \\ \ln(e^x) &= x, \\ \ln(x) &= \ln(10)·\lg(x) ≈ 2.3·\lg(x), \\ a^x &= e^{\big[x·\ln(a)\big]} \end{align*} \]

A.2 Комплексные числа

КомплЕксным числом называется выражение вида \(\mathbf{N} = a + ib\) , где «\(a\)» и «\(b\)» - действительные числа, а «\(i\)» - квадратный корень из –1 . «\(a\)» называется действительной частью, а «\(b\)» - мнимой _1 [* «\(i\)» не входит в мнимую часть и является лишь её признаком ( множителем ) ] . Для указания на комплексное число используется жирное начертание или волнистое подчёркивание. Но, вообще-то, вы сами должны знать , о каком именно числе идёт речь!

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и т.д., как обычные действительные числа. \[ \begin{align*} (a + ib) + (c + id) &= (a + c) + i (b + d), \\ (a + ib) - (c + id) &= (a - c) + i (b - d), \\ (a + ib)·(c + id) &= (ac - bd) + i (bc + ad), \\ \frac{a + ib}{c+id} &= \frac{(a + ib)(c - id)}{(c + id)(c - id)} = \left(\frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\right) + i\left(\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\right) \end{align*} \]

==1098

Все показанные действия выполняются привычным способом, как если бы «\(i\)» был обычным множителем в обычном арифметическом выражении. Отметим, что \(i^2=–1\) , и данное свойство используется при умножении. Деление упрощается умножением числителя и знаменателя на комплЕксное дополнение , которое получается изменением знака мнимой части. [* При такой операции мы не изменяем число, т.к. домножаем и числитель, и знаменатель, но избавляемся от мнимой части в знаменателе ] . Комплексное дополнение иногда обозначают звёздочкой, т.е., если \(\mathbf{N} = a + ib\) , то \(\mathbf{N^*} = a - ib\) . Величина ( модуль ) комплексного числа - действительное число, полученное умножением исходного комплексного числа на его дополнение и взятием квадратного корня из произведения \(|\mathbf{N}| = |a + ib|\) \(= \sqrt{(a + ib)(a — ib)}\) \(= \sqrt{a2 + b2} = \sqrt{\mathbf{NN^*}}\). Модуль произведения (или частного) комплексных чисел равен произведению (или частному) их модулей.

Действительная и мнимая часть комплексного числа \(\mathbf{N}\) иногда записываются как \(Re(\mathbf{N})\) , \(Im(\mathbf{N})\) . Получаются они из числа \(\mathbf{N}=a + ib\)  : \(Re(\mathbf{N})=a\) , \(Im(\mathbf{N})=b\) . Данное действие может потребовать некоторого числа умножений, когда речь идёт о сложных выражениях, включающих члены с множителем «\(i\)».

Комплексному числу соответствует точка на комплексной плоскости, которая ничем не отличается от обычной двумерной плоскости с осями X и Y , при этом действительной части числа соответствует позиция по оси X , а мнимой - по оси Y ( см. рис. A.1 ). Соответственно, комплексное число можно записать как пару координат \[ a + ib ⇔ (a, b) \].

Рис. A.1 Комплексные числа на «комплексной плоскости» [* она же S-плоскость ]

Так же, как координаты на обычной плоскости, комплексные числа можно представлять в полярной форме «величина—угол». Например, число \(a + ib\) в соответствии с рис. A.2 можно записать как \[ a + ib = r∠Θ \] , где \(r=\sqrt{a^2+b^2}\) , а \(Θ=arctan(b/a)\) _2 .

Рис. A.2 Комплексное число в полярной форме (величина и угол)

Есть ещё одна форма, которая использует примечательное соотношение \( e^{iΘ}=\cosΘ + i\sinΘ \) .

Рис. A.2a Связь между разными представлениями комплексного числа

Данное соотношение носит название «формула Эйлера» _3 и выводится разложением экспоненты \( e^{iΘ} \) в ряд Тейлора. В итоге получается следующие соотношения: \[ \begin{align*} \mathbf{N} &= a + ib = r(e^{iΘ}), \\ r &= |\mathbf{N}| = \sqrt{\mathbf{NN^*}} = \sqrt{a^2 + b^2}, \\ Θ &= tan^{-1} (b/a), \end{align*} \] т.е. \(r\) и \(Θ\) - полярные координаты точки на комплексной плоскости. Полярная форма удобна для умножения комплексных чисел [* а также возведения их в степень и взятия корня ] . При умножении перемножаются модули и складываются углы, при делении - делятся модули и вычитаются углы. \[ (r_1·e^{[iΘ_1]} )(r_2·e^{[iΘ_2]}) = r_1·r_2·e^{[i(Θ_1+Θ_2)]} \]

==1099

Наконец, для перевода из полярной в нормальную форму используется формула Эйлера: \[ re^{iΘ} = r\Big[\cos(Θ) + i\sin(Θ)\Big] . \] Иначе говоря, \[ Re(re^{iΘ}) = r\cos(Θ), \\ Im(re^{iΘ}) = r\sin(Θ) \]

Из этих соотношений легко вывести формулы суммы и разности тригонометрических функций. Можно не мучиться, заучивая эти заковыристые выражения. Просто считайте результат для \(e^{[i(x±y)]}\) .

Если требуется выполнить умножение комплексного числа на комплексную экспоненту, надо просто перемножить их. \[ \begin{align*} \mathbf{N} &= a + ib, \\ \mathbf{N}e^{iΘ} &= (a + ib)\Big[\cos(Θ) + i\sin(Θ)\Big], \\ &= \Big[a\cos(Θ) - b\sin(Θ)\Big] + i\Big[b\cos(Θ) + a\sin(Θ)\Big]. \end{align*} \]

При работе со схемами и сигналами аргумент \(Θ\) часто приходится выражать через угловую частоту \(Θ= ωt=2πft\). Таким образом \(V(t) = Re(\mathbf{V_0}e^{iΘ}) = \mathbf{V_0}\cos(ωt)\).

A.3 Дифференцирование

Начнём с понятия функции \(f(x)\) , т.е. зависимости \(y\) для каждого \(x\) в виде \(y=f(x)\) . Функция \(f(x)\) должна быть однозначной , т.е. давать для любого \(x\) только одно значение \(y\) . Функцию \(y=f(x)\) можно рассматривать как график, см. рис. A.3 . Производная \(y\) по аргументу \(x\) ( обозначается \(dy/dx\) [* , а ещё \(y_x'\) или \(y|_x\) ] ) - это угол наклона графика \(y=f(x)\) . Если провести через некоторую точку графика \(y=f(x)\) касательную, её наклон будет равен производной \(dy/dx\) в этой точке . Т.к. производная имеет значение в каждой точке [* мы неявно предположили, что функция является дифференцируемой в каждой точке ] , она сама является функцией. На рис. A.3 наклон в точке \((1,1)\) равен \(2\) , а наклон в начале координат - нулю.

Рис. A.3 Однозначная функция \(f(x)=x^2\)

С математической точки зрения производная - предел отношения приращения функции ( \(Δy\) ) к приращению аргумента ( \(Δx\) ), когда приращение аргумента стремится к нулю.

Дифференцирование - тривиальная операция, выполняемая с помощью таблицы элементарных производных и правил вычисления производных сложных функций. Примечание к таблице: «\(u\)» и «\(v\)» - некоторые функции аргумента «\(x\)», а «\(a\)» - какая-то константа.

A.3.1 Таблица элементарных производных

[* Таблица чуть расширена и слегка подправлена ] . \[ \begin{align*} &\frac{d}{dx}a &= &0 &\qquad &\frac{d}{dx}x &= &\quad1 \\ &\frac{d}{dx}ax &= &a &\qquad &\frac{d}{dx}x^n &= &\space nx^{n-1} \\ &\frac{d}{dx}e^x &= &e^x &\qquad &\frac{d}{dx}\ln(x) &= &\quad\frac{1}{x} \\ &\frac{d}{dx}a^x &= &a^x\ln(a) &\qquad &\frac{d}{dx}\log_a(x) &= &\quad\frac{1}{x\ln(a)} \\ &\frac{d}{dx}\sin(x) &= &cos(x) &\qquad &\frac{d}{dx}\cos(x) &= &-\sin(x) \\ &\frac{d}{dx}\tan(x) &= &\frac{1}{\cos^2(x)} &\qquad &\frac{d}{dx}\mathrm{ctg}(x) &= &-\frac{1}{\sin^2(x)} \\ &\frac{d}{dx}\mathrm{arcsin}(x) &= &\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} &\qquad &\frac{d}{dx}\mathrm{acrcos}(x) &= &-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ &\frac{d}{dx}\mathrm{arctg}(x) &= &\frac{1}{1+x^2} &\qquad &\frac{d}{dx}\mathrm{acrctg}(x) &= &-\frac{1}{1+x^2} \end{align*} \] [* И на всякий случай, вдруг кто не знает ] \[ \frac{d}{dx}\Bigg(\int(x)dx\Bigg) = x \]

==1100

A.3.2 Правила вычисления сложных функций

Пусть «\(u\)» и «\(v\)» - некоторые функции аргумента «\(x\)», а «\(a\)» - какая-то константа. Тогда верны следующие соотношения: \[ \begin{align*} &\frac{d}{dx}au(x) &= &a\frac{d}{dx}u(x)\\ &\frac{d}{dx}\Big(u(x)+v(x)\Big) &= &\frac{d}{dx}u(x) + \frac{d}{dx}v(x)\\ &\frac{d}{dx}\Big(u(x)·v(x)\Big) &= &v\frac{d}{dx}u(x) + u\frac{d}{dx}v(x)\\ &\frac{d}{dx}\Bigg(\frac{u(x)}{v(x)}\Bigg) &= &\frac{v\frac{d}{dx}u(x) - u\frac{d}{dx}v(x)}{v^2(x)}\\ &\frac{d}{dx}\Big(u\big[v(x)\big]\Big) &= &\frac{d}{dv}u · \frac{d}{dx}v(x) \end{align*} \]

A.3.3 Некоторые примеры дифференцирования

\[ \begin{align*} &\frac{d}{dx}\big(x^2\big) &= &2x \\ &\frac{d}{dx}\Big(x^{-(1/2)}\Big) &= &-\frac{1}{2}x^{-(2/3)}\\ &\frac{d}{dx}(x·e^x) &= &e^x+xe^x\\ &\frac{d}{dx}\Big(e^{[-x^2]}\Big) &= &-2x·\big(e^{-x^2}\big) \\ &\frac{d}{dx}\big(a^x\big) &= &\frac{d}{dx}\big(e^{x\ln(a)}\space\big) &= &a^x\ln(a) \end{align*} \]

После того, как функция продифференцирована, часто возникает необходимость узнать значение производной в некоторой точке и найти точки минимального или максимального значения функции ( экстремумы ). Для нахождения значения производной в точке надо просто подставить в формулу производной нужный аргумент [* т.е., если дифференцировали по «\(x\)», то значение «\(x\)» в нужной точке и подставляем ] , а для поиска экстремума надо приравнять производную нулю и решить получившееся уравнение относительно аргумента. Например, для функции \(y=x^2\) производная [* по «\(x\)», потому что других переменных нет ] равна \(y'=2x\) . В точке \(x=0\) производная \(y'=2×0 = 0\), в точке \(x=1\) производная \(y'=2×1 = 2\) [* а значение функции \(y=1^2 =1\) ] . [* В курсе математики такие задачи объясняются в разделе анализа графиков ] .

1 Инженеры-электротехники избегают математического обозначения \(i≡\sqrt{-1}\) и используют для этих целей «\(j\)» , чтобы не допустить неоднозначности, т.к. «\(i\)» используется для малых изменений тока. Инженерная нотация используется в книге везде, кроме этого приложения, потому что иначе авторов заклевали бы коллеги-математики. <-

2 Предупреждение: формула возвращает \(Θ\) только в диапазоне от \(–π/2\) до \(+π/2\). Чтобы получить корректное значение во всех квадрантах, требуются знаки при «\(a\)» и при «\(b\)» [ см. рис. A.1 ] . Одного лишь знака произведения недостаточно. <-

3 Леонард Эйлер (Leonhard Euler), произносится “oiler”. <-

Previous part:

Next part: