8.11 (I) Шум в трансимпедансных усилителях



==537

Трансрезистивные ( они же трансимпедансные, они же TIA , они же иногда просто «токовые усилители» или «усилители напряжения, управляемые током» ) усилители выдают на выход напряжение в ответ на входной ток. Их усиление равно \( V_{out}/I_{in}\) , имеет размерность «Ом», отсюда и имя ⁹⁰ . Этот вид усилителей представлялся в Части _4 ( §4.3.1.C ) и использовался в примере разработки недорогого детектора молний ( §8.5.7 , рис. 8.36E ), а вопросы их стабильности в схемах с обратной связью разбираются в §X4.3 . Чтобы освежить память, на рис. 8.69 показана уже знакомая базовая схема. Если предположить, что компоненты идеальные, то ток \(I_{sig}\) порождает выходное напряжение \( V_{out}=-I_{sig}R_f\) , поэтому усиление равно \(-R_f\) . Такой узел активно используется в схемах, где на входе ток, например, от фотодиода или фотоумножителя, детектора заряженных частиц, туннельного микроскопа или усилителей с локальной фиксацией потенциала .

Подчеркнём самое главное - шум, который в TIA может появляться несколькими способами. Сам усилитель имеет \(e_n\) и \(i_n\) , резистор обратной связи создаёт напряжение теплового шума, которое соответствует входному току \(i_{nR}=\sqrt{4kT/R_f}\) ( поэтому предпочтительны большие номиналы \(R_f\) ) . Важную роль играет ёмкость: она оказывает влияние не только на стабильность и полосу пропускания, но и преобразует входное напряжение шума в шумовой ток. Кроме того, есть то, что можно назвать шумом сигнала: дробовый шум тока сигнала, тепловой шум сопротивления источника и прочие его формы ⁹¹ . Рассмотрим, как всё это влияет на результат.

8.11.1 Общий обзор проблем устойчивости

Возвратимся к ёмкости между входом и землёй ( см. §4.6.3.A и §X4.3 ), она складывается из ёмкостей датчика и подводящего кабеля, которая в паре с сопротивлением обратной связи ( обычно большим ) создаёт сдвиг фаз в цепи обратной связи и вместе с запаздыванием фазы ОУ ( 90° и более ) создаёт предпосылки для нестабильности. Лекарством от этого недуга служит небольшой конденсатор \( C_f\) , шунтирующий резистор обратной связи ( пояснения см. в §X4.3 , [* и в §4.9.3 ] ) и, естественно, сильно снижающий рабочую полосу. Ранее уже говорилось, что даже в схеме с посредственными частотными параметрами, приходится использовать операционный усилитель с неожиданно большой рабочей полосой. В цифрах рабочая полоса схемы \( f_c\) пропорциональна квадратному корню из произведения GBW ( или \( f_T \) ) усилителя на частоту среза входного фильтра из входной ёмкости и резистора обратной связи \( f_{RC}=1/( 2πR_fC_{in}) \) , т.е.: \[ \mathrm{GBW}=f^2_c/f_{RCin} \qquad [8.43] \]



==538

8.11.2 Входной шум усилителя

Входной каскад трансимпедансного усилителя, независимо от того, на дискретных ли компонентах он сделан или на ОУ, характеризуется некоторыми значениями плотностей шумового напряжения \(e_n\) и тока \(i_n\) . Как обычно, обе компоненты имеют подъём вида 1/\( f \) на низких частотах, но кроме этого, шумовой ток зависит от постоянной составляющей входного тока ( ток смещения для биполярного или утечки затвора для полевого и МОП транзистора ), потому что на средних частотах входной шумовой ток является обычным дробовым шумом постоянной составляющей тока.

Как именно \(e_n\) и \(i_n\) меняют общий шум TIA? В §8.11.3 сообщается, что \(e_n\) порождает шумовой ток через входную ёмкость, причём данный процесс легко может превратиться в основной источник шума особенно на высоких частотах. Прежде, чем начинать беспокоиться о возможных последствиях, стоит отметить, что входное \(e_n\) , приложенное к резистору обратной связи, создаёт плотность шумового тока \(i_n=e_n/R_f\) ( а если источник сигнала имеет конечную величину сопротивления, то \(R_f\) заменяется на \(R_f∥R_S\) ) . Обычно все эти шумовые компоненты малы по сравнению с тепловым шумом этих сопротивлений, но могут очень быстро расти на малых частотах, где характер графика 1/\( f \) может увеличить \(e_n\) в 10...50 раз по сравнению с белым шумом на средних частотах ⁹² .

Шумовой ток входного каскада \(i_n\) не требует дополнительного преобразования – он прямо складывается с эквивалентным входным шумовым током TIA ( как корень из суммы квадратов ). Операционные усилители с входным каскадом на ПТ ( или входной каскад на дискретных полевых транзисторах ) имеют как правило достаточно низкий входной шумовой ток, измеряемый обычно в fA/\(\sqrt{Hz}\) , но не стоит забывать о шуме 1/\( f \) . Паспортные данные на ОУ с низким \(e_n\) AD743 сообщают о росте \(i_n\) с 7 fA/\(\sqrt{Hz}\) на средних частотах до 100 fA/\(\sqrt{Hz}\) на 1 Hz . Такая величина эквивалентна дробовому шуму входного тока величиной 30 nA ! (И это притом, что типовое значение при комнатной температуре, указанное в спецификации, составляет всего 0.15 nA ). Кроме того, \(i_n\) растёт с температурой, что связано с ростом утечки затвора ПТ, причём для AD743 шумовой ток специфицируется только при 25°C ( где его величина 7 fA/\(\sqrt{Hz}\) соответствует дробовому шуму входного тока 0.15 nA ), но если воспользоваться графиком зависимости входного тока от температуры, то можно рассчитать, что при 80°C \(i_n\) будет около 40 fA/\(\sqrt{Hz}\) ( график показывает входной ток 5 nA ), а при 125°C уже 400 fA/\(\sqrt{Hz}\) .

Температура - не единственный источник изменений входного тока ПТ: его ужасающий рост может вызываться и эффектом ударной ионизации ( §3.2.8.B ), который может проявиться при работе при напряжениях сток-исток, превышающих несколько вольт. С дискретными полевыми транзисторами неприятностей можно избежать, зафиксировав низкое напряжение на стоке ( например, с помощью каскода ). Малошумящие ОУ проектируются с учётом данного явления, но оно будет проявляться в повышении входного тока ( а значит, и токового шума ) при приближении входного сигнала к потенциалу одной из шин питания ( для LT1792 и ADA4627 - положительной, для AD8610 - отрицательной ).

8.11.3 Проблема шума e_nC

Кроме вклада в \(i_n\) со стороны входного тока ( непосредственного ) и входного \(e_n\) ( прикладываемого к сопротивлениям источника сигнала и обратной связи ) интересную проблему создаёт входная ёмкость ( она уже проходит по делам об устойчивости и полосе пропускания ). А именно, кто-то может подумать, что для усилителя, работающего с током, входное напряжение шума не важно: цепь обратной связи более всего напоминает повторитель и самое большее, что она может сделать, это добавить напряжение, равное \(e_n\) ( или токовый эквивалент \(i_n\)=\(e_n\)/\(R_f\) ) . Это не так! Чтобы понять, что происходит, взглянем на рис. 8.70 , где внутренний дифференциальный шумовой потенциал \(e_n\) представлен в виде последовательной ЭДС на неинвертирующем выводе. Напряжение обратной связи прикладывается к инвертирующему выводу ( чья входная ёмкость \( C_{in}\) подключена к земле ) и заставляет его отслеживать изменения на сигнальном выводе, создавая ток \(i_n( t )=C_{in}[\frac{d}{dt}v_n( t )]\) ( где \(v_n( t )\) - шумовое напряжение на входе ОУ ). Преобразовывая это выражение в плотность шума, получаем: \[ i_n=e_nωC_{in}=2πe_nC_{in}f \qquad [8.44] \]



==539

Это означает, что шумовое напряжение ОУ создаёт шумовой ток, который пропорционален ёмкости на входе и растёт вместе с частотой. Будем называть этот вид шумового тока «\(e_nC\)-шум» ⁹³ .

8.11.4 Шумы трансрезистивного усилителя

Применим описанный выше подход к модели шума трансрезистивного усилителя из §X4.3 . Она воспроизведена на рис. 8.71 с явным указанием входного напряжения шума \(e_n\) , шумового тока \(i_n\) и шунтирующего конденсатора обратной связи. В типовой схеме включения быстрого фотодиода ( с малой площадью кристалла ) входная ёмкость \( C_{in}\) ≈ 10...20 pF ( или больше за счёт ёмкости подводящего кабеля ), \(R_f\) ≈ 1...10 MΩ , а для ОУ на ПТ \(e_n\) ≈ 3...10 nV/\(\sqrt{Hz}\space\) и \(i_n\) ≈ 1...10 fA/\(\sqrt{Hz}\) .

Вклад от всех составляющих шума ( \(e_n\) , \(i_n\) и тепловой шум резистора обратной связи ) можно рассчитать как действующий шумовой ток ( зависящий от частоты ) на входе, ведь, в конце концов, именно здесь шум попадает в схему. Для начала нужно абстрагироваться от конденсатора \( C_f\) и провести расчёты с типовыми номиналами \(R_f\) =1 MΩ  и \( C_{in}\) =10 pF (ОУ, монтаж и источник сигнала ).

Как уже говорилось ранее, тепловой шум от частоты не зависит и имеет плотность напряжения \(e_n=\sqrt{4kTR}\) вольт на квадратный корень из герца. Это значение можно перевести в ток короткого замыкания \(e_n/R\) . Таким образом, \(i_n=\sqrt{4kT/R}\) ампер на квадратный корень из герца. Итого, для резистора обратной связи номиналом 1 MΩ при 25°C имеем: \[ i_n=\sqrt{\left(\frac{4kT}{R_f}\right )}=1.28×10^{-10}\sqrt{R_f}=0.128 pA/\sqrt{Hz}. \]

По амплитуде это на один-два порядка больше, чем входной ток усилителя, который, выходит, можно не учитывать. За последнее слагаемое несёт ответственность \(e_n\) усилителя. Выглядит оно как входной токовый шум \(i_n=2πe_n C_{in}f\) , как отмечалось ранее, растёт с частотой и в какой-то момент начинает превышать тепловой шум резистора. Частоту, на которой это происходит, будем обозначать \( f_X\) . Приравнивая тепловой шум к шуму «\(e_nC\)» можно найти ⁹⁴ , что: \[ f_X=\frac{\sqrt{4kT/R_f}}{2πe_n C_{in}} \qquad [8.45] \]

Рост шумового тока продолжался бы бесконечно, но, начиная с частоты \( f_c=1/( 2πR_fC_f) \) , параллельная ёмкость обратной связи \( C_f\) заставляет график выровняться. Появление горизонтального участка на характеристике вызывается полюсом \(R_fC_f\) , который компенсирует спадом –6 dB/octave подъём шума \(e_nC\) +6 dB/octave . Если выбирать \( C_f\) так, чтобы \( f_c\) была геометрически средней частотой ⁹⁵ , то: \[ f_{GM}=\sqrt{f_{RC_{in}}f_T} \qquad [8.46] \]

На графике появляется небольшой выброс на частоте \( f_c\) и два полюса, которые заставят шум \(e_nC\) спадать на высоких частотах с наклоном –6 dB/octave ( т.е. пропорционально 1/\( f \) ) , см. рис. 8.72 .

На рис. 8.72 изображён входной \(i_n\) для трансрезистивной модели с рис. 8.71 с \(R_f\) = 1 MΩ . Параметры использовавшихся ОУ приведены в таблице радом с графиком. На самом графике хорошо видно снижение общего токового шума, приведённого ко входу, у усилителей с меньшей входной ёмкостью и меньшим напряжением шума ( предполагается, что дальше в схеме стоит ограничивающий полосу ФНЧ ).

Интересно отметить, что при прочих равных условиях ОУ с большей полосой усиления не снижает входной шумовой ток, но зато расширяет рабочую полосу TIA. В любом случае, более скоростные ОУ обычно имеют меньшую входную ёмкость, что даёт им некоторые преимущества в шумовых параметрах, особенно в тех случаях, когда ёмкость внешней схемы мала.



==540

8.11.5 Пример: широкополосный усилитель для фотодиода на полевых транзисторах

В качестве продолжения темы на рис. 8.73A представлены графики трансимпедансного усиления, усиления для шума и действующего входного шумового тока ( рис. 8.73B ). В качестве усилителя выбран OPA656 ( \( f_T \) =230 MHz , \(e_n\) =7 nV/\(\sqrt{Hz}\) ) с резистором обратной связи 1 MΩ . Чтобы гарантировать устойчивость схемы для входных ёмкостей порядка 1000 pF , номинал шунтирующего конденсатора ( 2 pF ) взят с некоторым запасом ( \( f_c\) =76 kHz ).

Отметим, что здесь есть два «усиления». Во-первых, трансимпедансное усиление ( верхний график ) - отношение выходного напряжения к току входного сигнала. Этот график горизонтален до частоты спада \( f_c\) плюс дополнительные ограничения, накладываемые конечным, причём снижающимся, усилением ОУ в цепи без обратной связи \( G_{OL}\) . Во-вторых, шумовое усиление ( второй график ) - отношение напряжения выходного сигнала ко входному напряжению шума с его характерным для «\(e_nC\)» подъёмом пропорционально частоте. Оно выравнивается на частоте \( f_c\) , а в случае ОУ со скромным усилением без обратной связи ⁹⁶ дальше ограничивается именно им.

И наконец, действующий входной шумовой ток, который виден на выходе ( рис. 8.73B ), есть подправленная спадом усиления ОУ сумма \(e_nC\)-шума и теплового шума резистора обратной связи. В приведённом ко входу виде они равны \(e_nωC\) и \(\sqrt{4kT/R_f}\) соответственно. Видно, что на низких частотах основной вклад вносит тепловой шум: резистор 1 MΩ создаёт белый шум плотностью 0.13 pA/\(\sqrt{Hz}\) ( при коротком замыкании концов ).

Спектр выходного шума измерялся с четырьмя различными ёмкостями на входе, и, кроме того, измерялось входное напряжение шума \(e_n\) операционного усилителя. На рис. 8.74 показан снимок экрана анализатора спектра SR785 с характеристиками шумового тока и напряжения, отнесённых ко входу. Результаты измерений имеют разумное согласование с графиками на рис. 8.73A , исключая несколько избыточный шум в низкочастотной области графика «10 nF». Здесь следует заметить, что график 8.73A предполагает постоянный уровень в 6 nV/\(\sqrt{Hz}\) ( белый шум ) для \(e_n\) , в то время как измеренное напряжение демонстрирует стандартный подъём 1/\( f \) на низких частотах, утраивая цифры на частотах в районе 100 Hz .

8.11.6 Зависимость шума от коэффициента усиления в трансимпедансных усилителях

Во всех предыдущих примерах в качестве резистора обратной связи достаточно случайно и без учёта возможного влияния номинала на шум и рабочую полосу был выбран условный компонент с сопротивлением 1 MΩ . Рис. 8.72 , 8.73B и 8.74 наглядно показывают, что нижнюю границу шумового тока на низкой частоте определяет тепловой шум резистора обратной связи \(R_f\) , из чего можно было бы заключить, что большие номиналы будут «ещё лучше».



==541

Тут главное - не торопиться! Для заданной входной ёмкости большие номиналы \(R_f\) соответствуют более раннему началу спада усиления \(ω\)=1/( \(R_f C_{in}\) ) , т.е. меньшей полосе и \( f_c\) , и требуют более активной компенсации. Если основным шумом схемы является тепловой, и частотные параметры не беспокоят, но есть желание снизить низкочастотный шум, то увеличивать номинал \(R_f\) будет правильно. Если же речь идёт о широкополосном усилителе для фотодиодов, в котором больше проблем доставляет \(e_nC\)-шум, и где хотелось бы расширить полосу, то номинал \(R_f\) лучше снижать.

Тут главное - не перестараться! Есть такое соображение: любая разработка схемы на трансимпедансном усилителе должна выполняться так, чтобы добавляемый усилителем шум был незаметен на фоне уже имеющегося дробового шума входного сигнала. По мере снижения номинала \(R_f\) тепловой шум \(\sqrt{4kT/R_f}\) растёт и в какой-то момент обязательно превысит неустранимый дробовый шум входного сигнала \(\sqrt{2qI_{in}}\) . Уравнивая эти два тока, получаем условие \(I_{in}R_f=2kT/q\) =50 mV . Таким образом, чтобы избежать привнесения шума усилителем, номинал резистора обратной связи следует выбирать так, чтобы падение на нём под действием постоянной составляющей входного тока было выше указанной величины. Пусть это будет 100 mV .



==542

Компромисс при выборе резистора обратной связи проиллюстрирован рис. 8.75 , где снижение номинала \(R_f\) с 1 MΩ до 100 kΩ увеличивает частоту среза в десять раз, позволяя расширить полосу усиления приблизительно в три раза ( если точнее, то в \(\sqrt{10}\) ) . Цена - десятикратное снижение усиления ( что легко компенсировать ещё одним усилительным каскадом ) и увеличением уровня низкочастотного шума ( который остаётся незначительным по сравнению с долей \(e_nC\)-шума ). Расширение полосы, естественно, сопровождается увеличением \(e_nC\)-шума, что можно наблюдать на графике 8.75 выше 100 kHz .

К счастью, есть несколько милых уловок, которые можно использовать, чтобы смягчить ВЧ эффекты \(e_nC\)-шума. Один метод сильно снижает действующую ёмкость на входе, подпирая возвратную линию источника сигнала, в данном случае - фотодиода ( и экрана подводящего кабеля ) компенсирующим потенциалом - вольтодобавкой ; другой использует транзистор с общей базой ( каскод ), чтобы изолировать ёмкость фотодиода от трансимпедансного каскада. Эти методы будут рассмотрены совсем скоро, после краткого обсуждения важного ( и часто остающегося в небрежении ) вопроса: трансимпедансный каскад обязывает иметь на выходе ограничивающий полосу ФНЧ.

8.11.7 Ограничение полосы на выходе трансимпедансного усилителя

При разработке реального трансимпедансного усилителя с большим уровнем \(e_nC\)-шума от входной ёмкости, важно не забывать ставить ФНЧ на выходе. Возвращаемся к графику шума на рис. 8.73B . Конденсатор обратной связи \( C_f\) выбирался из соображений устойчивости с максимальной ожидаемой входной ёмкостью, поэтому на выходе присутствует много широкополосного высокочастотного шума, особенно если реальная входная ёмкость оказалась меньше расчётной. Этот шум выходит далеко за рабочую полосу усилителя и может вносить изрядную долю в общий уровень шумов схемы ( все графики представлены в логарифмическом масштабе, что может маскировать тот факт, что большая часть рабочей полосы прячется в правой части графика ).

Рассмотрим явление подробнее. На рис. 8.76 представлены уже знакомые графики для усилителя с токовым входом по схеме 8.77 ⁹⁷ . Здесь используется недокорректированный малошумящий ОУ на полевых транзисторах. Конденсатор обратной связи \( C_f\) выбран таким образом, чтобы обеспечить устойчивость схемы для ёмкости на входе до 1000 pF . Графики коэффициента усиления для шума и действующего входного шумового тока построены для двух значений входной ёмкости: 100 pF и 1000 pF . Сплошной линией показано выходное напряжение \(U_1\) , а пунктирной - оно же, но после простого RC фильтра нижних частот. При входной ёмкости \( C_{in}\) =100 pF схема оказывается перекорректирована, а значит, на графике есть обширная область ( она заполнена точками ) внеполосного шума, который убирается \(R_1C_1\) фильтром. ( В случае пограничной компенсации, когда \( f_c\) близко к \( f_{GM}\) , как видно на графике для 1000 pF , данный эффект минимален, потому что спад усиления в цепи без обратной связи выполняет ту же задачу, что и дополнительный ФНЧ ).



==543

В схему добавлен каскад усиления по напряжению ( 10× ) и общий коэффициент передачи равен 1 V/μA . Это позволяет добавить ещё одну секцию ФНЧ на \( C_2\) . Смотрится экстремально, но полезно вспомнить, что RC фильтр первого порядка имеет слишком плавный спад, и полоса по эквивалентному уровню белого шума простирается вверх далеко за характеристическую частоту ( если точно, 1.57×\( f_{3dB} \) , см. §8.13 ).



==543